Найти область определения для следующих функций: 5.1 y = lg((2x+1)/(x-1)) 13.1 y = lg((x-2)/(4x-1)) 21.1 y = lg((2x-3)/(x+7)) 29.1 y = ln((3x+4)/(5-x)) 33.1 y = lg(x^2 - 7x) 37.1 y = ln((x+5)/(7x-1)) 41.1 y = lg(4x^2 + 11x) 45.1 y = lg((32-8x)/(x+1)) 53.1 y = lg((x-1)/(8x+1)) 55.1 y = lg(2x^2 + 9x) 61.1 y = lg((5-4x)/(12x+1)) 80.1 y = lg((3x+1)/(x-4)) 88.1 y = lg((3x+1)/(1-3x)) 90.1 y = lg((x+1)/(2x-1)) 94.1 y = lg((4-5x)/(x-3)) 95.1 y = lg(x^2 - 8x)

Решение:

Для нахождения области определения логарифмических функций необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля. Для функций вида \( y = \log_a f(x) \), область определения находится из условия \( f(x) > 0 \).

5.1. \( y = \lg \frac{2x+1}{x-1} \)

1. Условие: \( \frac{2x+1}{x-1} > 0 \)
2. Решаем неравенство методом интервалов. Корни числителя: \( 2x+1 = 0 \Rightarrow x = -0.5 \). Корень знаменателя: \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
3. Получаем интервалы: \( (-\infty, -0.5) \), \( (-0.5, 1) \), \( (1, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-1 \) (знак +), \( x=0 \) (знак -), \( x=2 \) (знак +).
5. Область определения: \( x \in (-\infty, -0.5) \cup (1, \infty) \).

13.1. \( y = \lg \frac{x-2}{4x-1} \)

1. Условие: \( \frac{x-2}{4x-1} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=2 \). Корень знаменателя: \( x=0.25 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, 0.25) \), \( (0.25, 2) \), \( (2, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=0 \) (знак +), \( x=1 \) (знак -), \( x=3 \) (знак +).
5. Область определения: \( x \in (-\infty, 0.25) \cup (2, \infty) \).

21.1. \( y = \lg \frac{2x-3}{x+7} \)

1. Условие: \( \frac{2x-3}{x+7} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=1.5 \). Корень знаменателя: \( x=-7 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -7) \), \( (-7, 1.5) \), \( (1.5, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-8 \) (знак +), \( x=0 \) (знак -), \( x=2 \) (знак +).
5. Область определения: \( x \in (-\infty, -7) \cup (1.5, \infty) \).

29.1. \( y = \ln \frac{3x+4}{5-x} \)

1. Условие: \( \frac{3x+4}{5-x} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=-4/3 \). Корень знаменателя: \( x=5 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -4/3) \), \( (-4/3, 5) \), \( (5, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-2 \) (знак +), \( x=0 \) (знак +), \( x=6 \) (знак -).
5. Область определения: \( x \in (-4/3, 5) \).

33.1. \( y = \lg (x^2 - 7x) \)

1. Условие: \( x^2 - 7x > 0 \)
2. Разложим на множители: \( x(x-7) > 0 \).
3. Корни: \( x=0 \) и \( x=7 \). Парабола ветвями вверх.
4. Область определения: \( x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) \).

37.1. \( y = \ln \frac{x+5}{7x-1} \)

1. Условие: \( \frac{x+5}{7x-1} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=-5 \). Корень знаменателя: \( x=1/7 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, 1/7) \), \( (1/7, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-6 \) (знак +), \( x=0 \) (знак -), \( x=1 \) (знак +).
5. Область определения: \( x \in (-\infty, -5) \cup (1/7, \infty) \).

41.1. \( y = \lg (4x^2 + 11x) \)

1. Условие: \( 4x^2 + 11x > 0 \)
2. Разложим на множители: \( x(4x+11) > 0 \).
3. Корни: \( x=0 \) и \( x=-11/4 \). Парабола ветвями вверх.
4. Область определения: \( x \in (-\infty, -11/4) \cup (0, \infty) \).

45.1. \( y = \lg \frac{32-8x}{x+1} \)

1. Условие: \( \frac{32-8x}{x+1} > 0 \)
2. Корни числителя: \( 32-8x = 0 \Rightarrow x = 4 \). Корень знаменателя: \( x=-1 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 4) \), \( (4, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-2 \) (знак -), \( x=0 \) (знак +), \( x=5 \) (знак -).
5. Область определения: \( x \in (-1, 4) \).

53.1. \( y = \lg \frac{x-1}{8x+1} \)

1. Условие: \( \frac{x-1}{8x+1} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=1 \). Корень знаменателя: \( x=-1/8 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -1/8) \), \( (-1/8, 1) \), \( (1, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-1 \) (знак +), \( x=0 \) (знак -), \( x=2 \) (знак +).
5. Область определения: \( x \in (-\infty, -1/8) \cup (1, \infty) \).

55.1. \( y = \lg (2x^2 + 9x) \)

1. Условие: \( 2x^2 + 9x > 0 \)
2. Разложим на множители: \( x(2x+9) > 0 \).
3. Корни: \( x=0 \) и \( x=-9/2 \). Парабола ветвями вверх.
4. Область определения: \( x \in (-\infty, -9/2) \cup (0, \infty) \).

61.1. \( y = \lg \frac{5-4x}{12x+1} \)

1. Условие: \( \frac{5-4x}{12x+1} > 0 \)
2. Корни числителя: \( 5-4x = 0 \Rightarrow x = 5/4 \). Корень знаменателя: \( x=-1/12 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -1/12) \), \( (-1/12, 5/4) \), \( (5/4, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-1 \) (знак -), \( x=0 \) (знак +), \( x=2 \) (знак -).
5. Область определения: \( x \in (-1/12, 5/4) \).

80.1. \( y = \lg \frac{3x+1}{x-4} \)

1. Условие: \( \frac{3x+1}{x-4} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=-1/3 \). Корень знаменателя: \( x=4 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -1/3) \), \( (-1/3, 4) \), \( (4, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-1 \) (знак +), \( x=0 \) (знак -), \( x=5 \) (знак +).
5. Область определения: \( x \in (-\infty, -1/3) \cup (4, \infty) \).

88.1. \( y = \lg \frac{3x+1}{1-3x} \)

1. Условие: \( \frac{3x+1}{1-3x} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=-1/3 \). Корень знаменателя: \( x=1/3 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -1/3) \), \( (-1/3, 1/3) \), \( (1/3, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-1 \) (знак -), \( x=0 \) (знак +), \( x=1 \) (знак -).
5. Область определения: \( x \in (-1/3, 1/3) \).

90.1. \( y = \lg \frac{x+1}{2x-1} \)

1. Условие: \( \frac{x+1}{2x-1} > 0 \)
2. Корни числителя: \( x=-1 \). Корень знаменателя: \( x=1/2 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1/2) \), \( (1/2, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=-2 \) (знак +), \( x=0 \) (знак -), \( x=1 \) (знак +).
5. Область определения: \( x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty) \).

94.1. \( y = \lg \frac{4-5x}{x-3} \)

1. Условие: \( \frac{4-5x}{x-3} > 0 \)
2. Корни числителя: \( 4-5x = 0 \Rightarrow x = 4/5 \). Корень знаменателя: \( x=3 \).
3. Интервалы: \( (-\infty, 4/5) \), \( (4/5, 3) \), \( (3, \infty) \).
4. Тестируем точки: \( x=0 \) (знак -), \( x=1 \) (знак +), \( x=4 \) (знак -).
5. Область определения: \( x \in (4/5, 3) \).

95.1. \( y = \lg (x^2 - 8x) \)

1. Условие: \( x^2 - 8x > 0 \)
2. Разложим на множители: \( x(x-8) > 0 \).
3. Корни: \( x=0 \) и \( x=8 \). Парабола ветвями вверх.
4. Область определения: \( x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty) \).

Ответ:

5.1: \( x \in (-\infty, -0.5) \cup (1, \infty) \)

13.1: \( x \in (-\infty, 0.25) \cup (2, \infty) \)

21.1: \( x \in (-\infty, -7) \cup (1.5, \infty) \)

29.1: \( x \in (-4/3, 5) \)

33.1: \( x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) \)

37.1: \( x \in (-\infty, -5) \cup (1/7, \infty) \)

41.1: \( x \in (-\infty, -11/4) \cup (0, \infty) \)

45.1: \( x \in (-1, 4) \)

53.1: \( x \in (-\infty, -1/8) \cup (1, \infty) \)

55.1: \( x \in (-\infty, -9/2) \cup (0, \infty) \)

61.1: \( x \in (-1/12, 5/4) \)

80.1: \( x \in (-\infty, -1/3) \cup (4, \infty) \)

88.1: \( x \in (-1/3, 1/3) \)

90.1: \( x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty) \)

94.1: \( x \in (4/5, 3) \)

95.1: \( x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty) \)