Найти объем призмы 7. Дано: АА₁ = 2√3, 0 – центр ДАВС, ∠C₁OC = 30°. 8. Дано: АМ = MB, AM₁ = MB1, АА₁ = 2, О центр ДАВС, ZMOC120°. 9. Дано: СМ 1 А1В1, BC₁ = 2√6, ∠(BC1,(AA1B1)) = 45°. 10. Дано: АВ = 2, ∠((ABC),(AC₁B)) = 45°. 11. Дано: СС₁ = √3, P(C1, AB) = 2√3. 12. Дано: СС₁ = 3/3, ∠(CC1, (ACB)) = 30°.

Решение:

7. Дано: $$AA_1 = 2\sqrt{3}$$, O - центр $$\triangle ABC$$, $$\angle C_1OC = 30^\circ$$.

Найти: V - ?

Решение:

$$V = S_{осн} \cdot h$$

Рассмотрим прямоугольный $$ \triangle AA_1O$$.

$$\angle AOA_1 = 30^\circ$$, $$AA_1 = 2\sqrt{3}$$.

$$AO = \frac{AA_1}{tg30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 6$$

$$AO = OC = R$$, где R - радиус описанной окружности около $$\triangle ABC$$.

Так как О - центр $$\triangle ABC$$, то $$\triangle ABC$$ - правильный.

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где а - сторона $$\triangle ABC$$.

$$a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$

Площадь основания $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$$

Тогда объем призмы равен:

$$V = 27\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 27 \cdot 2 \cdot 3 = 162$$

8. Дано: AM = MB, $$A_1M_1 = M_1B_1$$, $$AA_1 = 2$$, О - центр $$\triangle ABC$$, $$\angle MOC = 120^\circ$$.

Найти: V - ?

Решение:

$$V = S_{осн} \cdot h$$

Рассмотрим прямоугольный $$ \triangle AOA_1$$.

$$AA_1 = 2$$.

Так как О - центр $$\triangle ABC$$, то $$\triangle ABC$$ - правильный.

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где R - радиус описанной окружности около $$\triangle ABC$$, а - сторона $$\triangle ABC$$.

$$OM = R \cdot cos60^\circ = \frac{1}{2}R$$

$$AM = R \cdot sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}R$$

Следовательно, $$AB = 2AM = \sqrt{3}R = a$$

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где а - сторона $$\triangle ABC$$.

Тогда площадь основания $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3}R)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4}$$

Рассмотрим прямоугольный $$ \triangle MOC$$.

$$\angle MOC = 120^\circ$$, $$MO = \frac{1}{2}R$$.

$$MC = \sqrt{MO^2 + OC^2 - 2MO \cdot OC \cdot cos120^\circ} = \sqrt{\frac{1}{4}R^2 + R^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}R \cdot R \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{\frac{1}{4}R^2 + R^2 + \frac{1}{2}R^2} = \sqrt{\frac{7}{4}R^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}R$$

$$MB = AM = \frac{\sqrt{3}}{2}R$$

Тогда по теореме Пифагора:

$$BB_1 = \sqrt{MC^2 - MB^2} = \sqrt{\frac{7}{4}R^2 - \frac{3}{4}R^2} = \sqrt{R^2} = R$$

$$BB_1 = AA_1 = 2$$, следовательно, $$R = 2$$.

Тогда площадь основания $$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$$

Тогда объем призмы равен:

$$V = 3\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$$

9. Дано: $$CM \perp A_1B_1$$, $$BC_1 = 2\sqrt{6}$$, $$\angle (BC_1, (AA_1B_1)) = 45^\circ$$.

Найти: V - ?

Решение:

$$V = S_{осн} \cdot h$$

Так как $$CM \perp A_1B_1$$, то $$CC_1 = BB_1 = AA_1 = h$$ - высота призмы.

Пусть $$A_1B_1 = a$$, тогда площадь основания $$S_{осн} = a^2$$.

Рассмотрим прямоугольный $$ \triangle BCC_1$$.

$$\angle (BC_1, (AA_1B_1)) = 45^\circ$$, $$BC_1 = 2\sqrt{6}$$.

Тогда $$CC_1 = BC_1 \cdot sin45^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}$$

$$BC = BC_1 \cdot cos45^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}$$

Так как $$BC = a$$, то площадь основания $$S_{осн} = (2\sqrt{3})^2 = 12$$

Тогда объем призмы равен:

$$V = 12 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$$

10. Дано: АВ = 2, $$ \angle ((ABC),(AC_1B)) = 45^\circ$$.

Найти: V - ?

Решение:

$$V = S_{осн} \cdot h$$

Так как $$\angle ((ABC),(AC_1B)) = 45^\circ$$, то $$\angle C_1CC = 45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный $$ \triangle CC_1A$$.

$$\angle C_1CC = 45^\circ$$, $$CC_1 = AA_1 = BB_1 = h$$ - высота призмы.

Тогда $$CA = AB = BC = a = 2$$.

Площадь основания $$S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4$$

Тогда $$CC_1 = CA \cdot tg45^\circ = 2 \cdot 1 = 2$$

Тогда объем призмы равен:

$$V = 4 \cdot 2 = 8$$

11. Дано: $$CC_1 = \sqrt{3}$$, $$\rho (C_1, AB) = 2\sqrt{3}$$.

Найти: V - ?

Решение:

$$V = S_{осн} \cdot h$$

Так как $$\rho (C_1, AB) = 2\sqrt{3}$$, то $$CC_1 = AA_1 = BB_1 = h$$ - высота призмы.

$$h = \sqrt{3}$$

Пусть $$AB = a$$, тогда площадь основания $$S_{осн} = a^2$$.

Рассмотрим прямоугольный $$ \triangle A_1B_1C_1$$.

По теореме Пифагора:

$$C_1M = \sqrt{C_1C^2 + MC^2}$$, где СМ - половина стороны основания.

$$2\sqrt{3} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (0,5a)^2}$$.

$$12 = 3 + 0,25a^2$$

$$9 = 0,25a^2$$

$$a^2 = 36$$

$$a = 6$$

Тогда площадь основания $$S_{осн} = 6^2 = 36$$

Тогда объем призмы равен:

$$V = 36 \cdot \sqrt{3} = 36\sqrt{3}$$

12. Дано: $$CC_1 = 3\sqrt{3}$$, $$\angle (CC_1, (AC_1B)) = 30^\circ$$.

Найти: V - ?

Решение:

$$V = S_{осн} \cdot h$$

Так как $$\angle (CC_1, (AC_1B)) = 30^\circ$$, то $$CC_1 = AA_1 = BB_1 = h$$ - высота призмы.

$$h = 3\sqrt{3}$$

Пусть $$AB = a$$, тогда площадь основания $$S_{осн} = a^2$$.

Рассмотрим прямоугольный $$ \triangle A_1B_1C_1$$.

$$cos30^\circ = \frac{CC_1}{C_1K}$$, где C_1K - диагональ.

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{C_1K}$$.

$$C_1K = \frac{3\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 6$$

По теореме Пифагора:

$$a^2 + a^2 = 6^2$$

$$2a^2 = 36$$

$$a^2 = 18$$

$$a = 3\sqrt{2}$$

Тогда площадь основания $$S_{осн} = (3\sqrt{2})^2 = 18$$

Тогда объем призмы равен:

$$V = 18 \cdot 3\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$$

Ответ: