Найти неопределенный интеграл: ∫(x²+x-1)dx.

Решение:

Для нахождения неопределенного интеграла от функции \( f(x) = x^2 + x - 1 \) необходимо проинтегрировать каждый член функции отдельно, используя правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и правило интегрирования константы \( \int c dx = cx + C \).

1. Интегрируем \( x^2 \): \( \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \)
2. Интегрируем \( x \) (здесь \( n=1 \)): \( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)
3. Интегрируем \( -1 \): \( \int -1 dx = -1x \)
4. Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования \( C \):

\[ \int (x^2 + x - 1) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x + C \]

Сравниваем полученный результат с предложенными вариантами:

• 1) \( 2x + 1 + C \) — Неверно.
• 2) \( \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 1 + C \) — Неверно.
• 3) \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \) — Неверно (пропущен член \( -x \)).
• 4) \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x + C \) — Верно.

Ответ: 4)