Найти наименьшее целое решение неравенства: 25^1-x - 126*5^-x + 5 < 0

Решение:

Запишем неравенство, используя свойства степеней:

\( 25^{1-x} - 126 \cdot 5^{-x} + 5 < 0 \)

\( 25 \cdot 25^{-x} - 126 \cdot 5^{-x} + 5 < 0 \)

\( 25 \cdot (5^2)^{-x} - 126 \cdot 5^{-x} + 5 < 0 \)

\( 25 \cdot (5^{-x})^2 - 126 \cdot 5^{-x} + 5 < 0 \)

Пусть \( y = 5^{-x} \). Тогда неравенство примет вид:

\( 25y^2 - 126y + 5 < 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( 25y^2 - 126y + 5 = 0 \):

\( y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

\( a = 25, b = -126, c = 5 \)

\( D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{15376} = 124 \)

\( y_1 = \frac{126 - 124}{2 \cdot 25} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} \)

\( y_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = \frac{250}{50} = 5 \)

Таким образом, неравенство \( 25y^2 - 126y + 5 < 0 \) выполняется при \( \frac{1}{25} < y < 5 \).

Подставим обратно \( y = 5^{-x} \):

\( \frac{1}{25} < 5^{-x} < 5 \)

\( 5^{-2} < 5^{-x} < 5^1 \)

Так как основание степени \( 5 > 1 \), при переходе от показателя к показателю знак неравенства сохраняется:

\( -2 < -x < 1 \)

Умножим все части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

\( 2 > x > -1 \)

Или, что то же самое:

\( -1 < x < 2 \)

Наименьшее целое решение этого неравенства — это ближайшее целое число, большее -1. Это число 0.

Ответ: 0