Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 5x² - 3xy + y² в области D, ограниченной линиями х = 0, x = 1, y = 0, y = 1.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем частные производные функции z по x и y.
• \(\frac{\partial z}{\partial x} = 10x - 3y\)
• \(\frac{\partial z}{\partial y} = -3x + 2y\)
• Шаг 2: Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
• \(\begin{cases} 10x - 3y = 0 \\ -3x + 2y = 0 \end{cases}\)
• Из первого уравнения: \(y = \frac{10}{3}x\)
• Подставим во второе уравнение: \(-3x + 2(\frac{10}{3}x) = 0\)
• \(-3x + \frac{20}{3}x = 0\)
• \(\frac{11}{3}x = 0\)
• \(x = 0\)
• Тогда \(y = \frac{10}{3} \cdot 0 = 0\)
• Стационарная точка: \((0, 0)\)
• Шаг 3: Проверим стационарную точку на принадлежность области D и вычислим значение функции в ней.
• Точка \((0, 0)\) принадлежит области D.
• \(z(0, 0) = 5(0)^2 - 3(0)(0) + (0)^2 = 0\)
• Шаг 4: Исследуем функцию на границе области D.
• 1) x = 0, 0 ≤ y ≤ 1:
• \(z(0, y) = y^2\)
• Наименьшее значение: \(z(0, 0) = 0\)
• Наибольшее значение: \(z(0, 1) = 1^2 = 1\)
• 2) x = 1, 0 ≤ y ≤ 1:
• \(z(1, y) = 5 - 3y + y^2\)
• \(\frac{dz}{dy} = -3 + 2y = 0\)
• \(y = \frac{3}{2} > 1\) — не принадлежит области.
• \(z(1, 0) = 5\)
• \(z(1, 1) = 5 - 3 + 1 = 3\)
• 3) y = 0, 0 ≤ x ≤ 1:
• \(z(x, 0) = 5x^2\)
• Наименьшее значение: \(z(0, 0) = 0\)
• Наибольшее значение: \(z(1, 0) = 5\)
• 4) y = 1, 0 ≤ x ≤ 1:
• \(z(x, 1) = 5x^2 - 3x + 1\)
• \(\frac{dz}{dx} = 10x - 3 = 0\)
• \(x = \frac{3}{10}\)
• \(z(\frac{3}{10}, 1) = 5(\frac{3}{10})^2 - 3(\frac{3}{10}) + 1 = 5 \cdot \frac{9}{100} - \frac{9}{10} + 1 = \frac{9}{20} - \frac{18}{20} + \frac{20}{20} = \frac{11}{20}\)
• \(z(0, 1) = 1\)
• \(z(1, 1) = 3\)
• Шаг 5: Сравним все найденные значения.
• Значения: 0, 1, 5, 3, \(\frac{11}{20}\)

Ответ: Наибольшее значение: 5, Наименьшее значение: 0