Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ

Решение:

Для решения первого задания нам дана таблица распределения случайной величины X:

1. Математическое ожидание (M(X))
   Математическое ожидание вычисляется по формуле: \( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \)



\( M(X) = 12 \cdot 0,2 + 16 \cdot 0,1 + 20 \cdot 0,4 + 25 \cdot 0,1 + 30 \cdot 0,2 \)
\( M(X) = 2,4 + 1,6 + 8 + 2,5 + 6 \)
\( M(X) = 20,5 \)



2. Дисперсия (D(X))
   Дисперсия вычисляется по формуле: \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \)
   Сначала найдём \( M(X^2) \): \( M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i \)



\( M(X^2) = 12^2 \cdot 0,2 + 16^2 \cdot 0,1 + 20^2 \cdot 0,4 + 25^2 \cdot 0,1 + 30^2 \cdot 0,2 \)
\( M(X^2) = 144 \cdot 0,2 + 256 \cdot 0,1 + 400 \cdot 0,4 + 625 \cdot 0,1 + 900 \cdot 0,2 \)
\( M(X^2) = 28,8 + 25,6 + 160 + 62,5 + 180 \)
\( M(X^2) = 456,9 \)




Теперь найдём дисперсию: \( D(X) = 456,9 - (20,5)^2 \)
\( D(X) = 456,9 - 420,25 \)
\( D(X) = 36,65 \)



3. Среднее квадратическое отклонение (\(\|\sigma\|\))
   Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии: \( \sigma = \sqrt{D(X)} \)



\( \sigma = \sqrt{36,65} \approx 6,05 \)

Ответ: Математическое ожидание M(X) = 20,5; Дисперсия D(X) = 36,65; Среднее квадратическое отклонение \(\|\sigma\|\) ≈ 6,05.