Найти: х, у.

Для решения задачи нам понадобится применить теорему о пропорциональных отрезках секущей и касательной к окружности, а также свойство биссектрисы угла треугольника.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок BP является биссектрисой угла B, так как углы AKP и KPB равны (обозначены дугами на рисунке). По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть:

$$ \frac{AP}{PC} = \frac{BK}{KC} $$

Мы знаем, что AP = 20, BK = 9 и KC = 12. Подставим известные значения:

$$ \frac{20}{x} = \frac{9}{12} $$

Решим уравнение для x:

$$ x = \frac{20 \cdot 12}{9} = \frac{240}{9} = \frac{80}{3} $$

Таким образом, x = 80/3.

2. Теперь рассмотрим треугольник ABC еще раз. Треугольник AKP подобен треугольнику ABC, так как угол A - общий, а углы AKP и ABC равны (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AK).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC} $$

Мы знаем AK = 18, AP = 20, AC = AP + PC = 20 + 80/3 = (60 + 80)/3 = 140/3, BC = y. Также, AB = AK + KB = 18 + 9 = 27, KP = 12.

Используем пропорцию:

$$ \frac{AK}{AB} = \frac{KP}{BC} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{18}{27} = \frac{12}{y} $$

$$ \frac{2}{3} = \frac{12}{y} $$

Решим уравнение для y:

$$ y = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18 $$

Таким образом, y = 18.

Ответ: x = 80/3, y = 18.