Найти grad z в точке А(1,1) и производную в этой точке по направление вектора ā = 2ī + J, если г = 3x²y² + 5y²x.

Привет! Разбираемся с градиентом и производной функции. Логика такая: сначала находим градиент, затем вычисляем производную по направлению.

Решение:

1. Находим градиент функции z: Градиент функции z = 3x²y² + 5y²x - это вектор из частных производных по x и y: \[
abla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)\] * Частная производная по x: \[\frac{\partial z}{\partial x} = 6xy^2 + 5y^2\] * Частная производная по y: \[\frac{\partial z}{\partial y} = 6x^2y + 10yx\] Таким образом, градиент равен: \[
abla z = (6xy^2 + 5y^2, 6x^2y + 10yx)\] 2. Вычисляем градиент в точке A(1,1): Подставляем x=1 и y=1 в градиент: \[
abla z(1,1) = (6\cdot1\cdot1^2 + 5\cdot1^2, 6\cdot1^2\cdot1 + 10\cdot1\cdot1) = (6 + 5, 6 + 10) = (11, 16)\] Итак, grad z в точке A(1,1) равен (11, 16). 3. Находим производную по направлению вектора ā = 2ī + J: * Вектор ā имеет координаты (2, 1). * Находим единичный вектор в направлении ā: Длина вектора ā равна: \[|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\] Единичный вектор: \[\hat{a} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\] 4. Вычисляем производную по направлению: Производная по направлению - это скалярное произведение градиента на единичный вектор: \[D_{\hat{a}}z(1,1) =
abla z(1,1) \cdot \hat{a} = (11, 16) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\] \[D_{\hat{a}}z(1,1) = 11 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{22}{\sqrt{5}} + \frac{16}{\sqrt{5}} = \frac{38}{\sqrt{5}}\] Упрощаем: \[\frac{38}{\sqrt{5}} = \frac{38\sqrt{5}}{5}\]

Ответ: grad z в точке A(1,1) равен (11, 16), а производная по направлению вектора ā в этой точке равна \[\frac{38\sqrt{5}}{5}\]