Найти экстремумы функции: 1) \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+19\).

Найдём производную функции:

\[f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x-2)(x+1).\]

Критические точки определяются из уравнения \(f'(x)=0\):

\[12x(x-2)(x+1)=0,\qquad x=-1,\;0,\;2.\]

Определим знак производной:

• при \(x<-1\): \(f'(x)<0\);
• при \(-1<x<0\): \(f'(x)>0\);
• при \(0<x<2\): \(f'(x)<0\);
• при \(x>2\): \(f'(x)>0\).

Значит, при \(x=-1\) функция меняет убывание на возрастание — это точка минимума; при \(x=0\) возрастание сменяется убыванием — точка максимума; при \(x=2\) убывание сменяется возрастанием — точка минимума.

Вычислим значения функции:

\[f(-1)=3+4-12+19=14;\]

\[f(0)=19;\]

\[f(2)=3\cdot16-4\cdot8-12\cdot4+19=-13.\]

Ответ: локальные минимумы: \(f(-1)=14\) и \(f(2)=-13\); локальный максимум: \(f(0)=19\). Точки экстремума: \((-1;14)\), \((0;19)\), \((2;-13)\).