Найти длины векторов AB; BC; CD, если даны точки А (3; -2; 1); B (4; 2; 1); C (-1; -1; 1); D (3; 0;1).

Решение:

Чтобы найти длину вектора, используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: \( |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \).

Для вектора \(\vec{AB}\):

\( \vec{AB} = B - A = (4 - 3; 2 - (-2); 1 - 1) = \{1; 4; 0} \)

Длина вектора \(\vec{AB}\):

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 16 + 0} = \sqrt{17} \]

Для вектора \(\vec{BC}\):

\( \vec{BC} = C - B = (-1 - 4; -1 - 2; 1 - 1) = \{-5; -3; 0} \)

Длина вектора \(\vec{BC}\):

\[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 9 + 0} = \sqrt{34} \]

Для вектора \(\vec{CD}\):

\( \vec{CD} = D - C = (3 - (-1); 0 - (-1); 1 - 1) = \{4; 1; 0} \)

Длина вектора \(\vec{CD}\):

\[ |\vec{CD}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 1 + 0} = \sqrt{17} \]

Ответ: Длина вектора \( \vec{AB} = \sqrt{17} \), длина вектора \( \vec{BC} = \sqrt{34} \), длина вектора \( \vec{CD} = \sqrt{17} \).