Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1221 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение значений случайной величины 2, заданных распределением по частотам М: 1) Z -2 -1 1 3 M 2 1 3 1 2) Z -4 -1 2 3 M 1 2 3 1
Ответ:
Краткое пояснение: Сначала найдем математическое ожидание, затем дисперсию и, наконец, среднее квадратичное отклонение для каждого случая.
1)
- Шаг 1: Найдем математическое ожидание \( E(Z) \). \[ E(Z) = \sum_{i} Z_i \cdot P(Z_i) \] где \( P(Z_i) = \frac{M_i}{\sum M_i} \). Для данного случая: \[ \sum M_i = 2 + 1 + 3 + 1 = 7 \] Следовательно, вероятности: \[ P(Z = -2) = \frac{2}{7}, \quad P(Z = -1) = \frac{1}{7}, \quad P(Z = 1) = \frac{3}{7}, \quad P(Z = 3) = \frac{1}{7} \] Математическое ожидание: \[ E(Z) = -2 \cdot \frac{2}{7} + (-1) \cdot \frac{1}{7} + 1 \cdot \frac{3}{7} + 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{-4 - 1 + 3 + 3}{7} = \frac{1}{7} \]
- Шаг 2: Найдем дисперсию \( D(Z) \). \[ D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 \] Сначала найдем \( E(Z^2) \): \[ E(Z^2) = (-2)^2 \cdot \frac{2}{7} + (-1)^2 \cdot \frac{1}{7} + 1^2 \cdot \frac{3}{7} + 3^2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{8 + 1 + 3 + 9}{7} = \frac{21}{7} = 3 \] Теперь дисперсия: \[ D(Z) = 3 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 3 - \frac{1}{49} = \frac{147 - 1}{49} = \frac{146}{49} \]
- Шаг 3: Найдем среднее квадратичное отклонение \( \sigma(Z) \). \[ \sigma(Z) = \sqrt{D(Z)} = \sqrt{\frac{146}{49}} = \frac{\sqrt{146}}{7} \]
2)
- Шаг 1: Найдем математическое ожидание \( E(Z) \). \[ E(Z) = \sum_{i} Z_i \cdot P(Z_i) \] где \( P(Z_i) = \frac{M_i}{\sum M_i} \). Для данного случая: \[ \sum M_i = 1 + 2 + 3 + 1 = 7 \] Следовательно, вероятности: \[ P(Z = -4) = \frac{1}{7}, \quad P(Z = -1) = \frac{2}{7}, \quad P(Z = 2) = \frac{3}{7}, \quad P(Z = 3) = \frac{1}{7} \] Математическое ожидание: \[ E(Z) = -4 \cdot \frac{1}{7} + (-1) \cdot \frac{2}{7} + 2 \cdot \frac{3}{7} + 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{-4 - 2 + 6 + 3}{7} = \frac{3}{7} \]
- Шаг 2: Найдем дисперсию \( D(Z) \). \[ D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 \] Сначала найдем \( E(Z^2) \): \[ E(Z^2) = (-4)^2 \cdot \frac{1}{7} + (-1)^2 \cdot \frac{2}{7} + 2^2 \cdot \frac{3}{7} + 3^2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{16 + 2 + 12 + 9}{7} = \frac{39}{7} \] Теперь дисперсия: \[ D(Z) = \frac{39}{7} - \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{39}{7} - \frac{9}{49} = \frac{39 \cdot 7 - 9}{49} = \frac{273 - 9}{49} = \frac{264}{49} \]
- Шаг 3: Найдем среднее квадратичное отклонение \( \sigma(Z) \). \[ \sigma(Z) = \sqrt{D(Z)} = \sqrt{\frac{264}{49}} = \frac{\sqrt{264}}{7} = \frac{2\sqrt{66}}{7} \]
Ответ: 1) \(D(Z) = \frac{146}{49}\), \( \sigma(Z) = \frac{\sqrt{146}}{7}\); 2) \(D(Z) = \frac{264}{49}\), \( \sigma(Z) = \frac{2\sqrt{66}}{7}\)
