Найти частные производные z = tg (x^3 + 4xy)

Решение:

Для нахождения частных производных функции \( z = \text{tg} (x^3 + 4xy) \), нам нужно продифференцировать её по каждой переменной, считая другую константой.

Частная производная по x:

Используем правило дифференцирования сложной функции: \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{du}(\text{tg}(u)) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \), где \( u = x^3 + 4xy \).

Производная от \( \text{tg}(u) \) по \( u \) равна \( \sec^2(u) \).

Частная производная \( u \) по \( x \) равна: \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 4xy) = 3x^2 + 4y \).

Таким образом, частная производная по \( x \) равна:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sec^2(x^3 + 4xy) \cdot (3x^2 + 4y) \]

Частная производная по y:

Аналогично, используем правило дифференцирования сложной функции: \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d}{du}(\text{tg}(u)) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \).

Частная производная \( u \) по \( y \) равна: \( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + 4xy) = 0 + 4x = 4x \).

Таким образом, частная производная по \( y \) равна:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(x^3 + 4xy) \cdot (4x) \]

Ответ: \( \frac{\partial z}{\partial x} = (3x^2 + 4y) \sec^2(x^3 + 4xy) \), \( \frac{\partial z}{\partial y} = 4x \sec^2(x^3 + 4xy) \).