Найти частные производные Z = 4x + ctg(sqrt(xy))

Решение:

Для нахождения частных производных функции \( Z = 4x + \mathrm{ctg}\sqrt{xy} \) необходимо дифференцировать её по каждой переменной, считая другую константой.

1. Частная производная по x ( \( \frac{\partial Z}{\partial x} \) ):

При дифференцировании по \( x \), \( y \) считается константой.

Производная \( 4x \) по \( x \) равна \( 4 \).

Для производной \( \mathrm{ctg}\sqrt{xy} \) применим правило цепной производной:

\( \frac{\partial}{\partial x} \mathrm{ctg}\sqrt{xy} = -\mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy}) \cdot \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{xy} \)

Теперь найдём производную \( \sqrt{xy} \) по \( x \):

\( \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{xy} = \frac{\partial}{\partial x} (xy)^{1/2} = \frac{1}{2} (xy)^{-1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (xy) \)

\( \frac{\partial}{\partial x} (xy) = y \) (так как \( y \) — константа).

Подставляем обратно:

\( \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{xy} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}} \)

Теперь объединим всё для \( \frac{\partial Z}{\partial x} \):

\( \frac{\partial Z}{\partial x} = 4 - \mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy}) \cdot \frac{y}{2\sqrt{xy}} = 4 - \frac{y \mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy})}{2\sqrt{xy}} \)

2. Частная производная по y ( \( \frac{\partial Z}{\partial y} \) ):

При дифференцировании по \( y \), \( x \) считается константой.

Производная \( 4x \) по \( y \) равна \( 0 \).

Для производной \( \mathrm{ctg}\sqrt{xy} \) применим правило цепной производной:

\( \frac{\partial}{\partial y} \mathrm{ctg}\sqrt{xy} = -\mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy}) \cdot \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{xy} \)

Теперь найдём производную \( \sqrt{xy} \) по \( y \):

\( \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (xy)^{1/2} = \frac{1}{2} (xy)^{-1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (xy) \)

\( \frac{\partial}{\partial y} (xy) = x \) (так как \( x \) — константа).

Подставляем обратно:

\( \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{xy} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x = \frac{x}{2\sqrt{xy}} \)

Теперь объединим всё для \( \frac{\partial Z}{\partial y} \):

\( \frac{\partial Z}{\partial y} = 0 - \mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy}) \cdot \frac{x}{2\sqrt{xy}} = -\frac{x \mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy})}{2\sqrt{xy}} \)

Ответ:

\( \frac{\partial Z}{\partial x} = 4 - \frac{y \mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy})}{2\sqrt{xy}} \)

\( \frac{\partial Z}{\partial y} = -\frac{x \mathrm{cosec}^2(\sqrt{xy})}{2\sqrt{xy}} \)