Найти частное решение ЛОДУ2 y" - 9y' + 18y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -3. В ответе записать значение полученного решения в точке х = 1 с точностью 0, 01.

Привет! Давай разберемся с этой задачей на обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Нам нужно найти частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

1. Находим характеристическое уравнение:

   Для уравнения вида $$ay'' + by' + cy = 0$$ характеристическое уравнение будет $$ar^2 + br + c = 0$$. В нашем случае это:

   \[ r^2 - 9r + 18 = 0 \]

2. Решаем характеристическое уравнение:

   Найдем корни квадратного уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

   По теореме Виета: $$r_1 + r_2 = 9$$, $$r_1 \times r_2 = 18$$. Корни: $$r_1 = 3$$, $$r_2 = 6$$.

3. Общее решение однородного уравнения:

   Так как корни действительные и различные, общее решение имеет вид:

   \[ y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \]

   Подставляем наши корни:

   \[ y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{6x} \]

4. Находим производную общего решения:

   Нам нужно продифференцировать $$y(x)$$ по $$x$$, чтобы использовать второе начальное условие $$y'(0) = -3$$.

   \[ y'(x) = 3C_1 e^{3x} + 6C_2 e^{6x} \]

5. Используем начальные условия для нахождения $$C_1$$ и $$C_2$$:

   У нас есть два условия:

   1) $$y(0) = 2$$

   2) $$y'(0) = -3$$

   Подставляем $$x=0$$ в общее решение $$y(x)$$:

   \[ y(0) = C_1 e^{3 \times 0} + C_2 e^{6 \times 0} = C_1 \times 1 + C_2 \times 1 = C_1 + C_2 \]

   Получаем первое уравнение:

   \[ C_1 + C_2 = 2 \]

   Теперь подставляем $$x=0$$ в производную $$y'(x)$$:

   \[ y'(0) = 3C_1 e^{3 \times 0} + 6C_2 e^{6 \times 0} = 3C_1 \times 1 + 6C_2 \times 1 = 3C_1 + 6C_2 \]

   Получаем второе уравнение:

   \[ 3C_1 + 6C_2 = -3 \]

   Упростим второе уравнение, разделив на 3:

   \[ C_1 + 2C_2 = -1 \]

6. Решаем систему уравнений:

   У нас есть система:

   \[ \begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1 + 2C_2 = -1 \end{cases} \]

   Вычтем первое уравнение из второго:

   \[ (C_1 + 2C_2) - (C_1 + C_2) = -1 - 2 \]

   \[ C_2 = -3 \]

   Теперь найдем $$C_1$$, подставив $$C_2$$ в первое уравнение:

   \[ C_1 + (-3) = 2 \]

   \[ C_1 = 5 \]

7. Записываем частное решение:

   Подставляем найденные $$C_1 = 5$$ и $$C_2 = -3$$ в общее решение:

   \[ y(x) = 5 e^{3x} - 3 e^{6x} \]

8. Находим значение решения в точке $$x=1$$:

   Теперь подставим $$x=1$$ в найденное частное решение:

   \[ y(1) = 5 e^{3 \times 1} - 3 e^{6 \times 1} = 5e^3 - 3e^6 \]

   Используем приближенные значения $$e^3 \thickapprox 20.0855$$ и $$e^6 \thickapprox 403.4288$$.

   \[ y(1) \thickapprox 5 \times 20.0855 - 3 \times 403.4288 \]

   \[ y(1) \thickapprox 100.4275 - 1210.2864 \]

   \[ y(1) \thickapprox -1109.8589 \]

   Нам нужно записать ответ с точностью до 0,01. Округляем полученное значение:

   \[ y(1) \thickapprox -1109.86 \]

Ответ: -1109.86