Найти частное решение ЛОДУ2 y" - 8y' + 16y = 0, y(0) = −1, y'(0) = 5. В ответе записать значение полученного решения в точке х = 1 с точностью 0, 01.

Давай разберемся с этим дифференциальным уравнением вместе!

1. Находим общее решение

Сначала запишем характеристическое уравнение для нашего ЛОДУ:

\[ r^2 - 8r + 16 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 \]

Так как дискриминант равен нулю, у нас один действительный корень:

\[ r = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при одном действительном корне характеристического уравнения имеет вид:

\[ y(x) = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx} \]

Подставляем наш корень r = 4:

\[ y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x} \]

2. Находим частное решение

Теперь нам нужно найти коэффициенты C_1 и C_2, используя начальные условия:

1. y(0) = -1
2. y'(0) = 5

Сначала найдем производную общего решения:

\[ y'(x) = 4C_1 e^{4x} + C_2 (e^{4x} + 4x e^{4x}) = (4C_1 + C_2) e^{4x} + 4C_2 x e^{4x} \]

Теперь подставим начальные условия:

Из y(0) = -1:

\[ -1 = C_1 e^{4 \cdot 0} + C_2 \cdot 0 \cdot e^{4 \cdot 0} \]

\[ -1 = C_1 \cdot 1 + 0 \]

\[ C_1 = -1 \]

Из y'(0) = 5:

\[ 5 = (4C_1 + C_2) e^{4 \cdot 0} + 4C_2 \cdot 0 \cdot e^{4 \cdot 0} \]

\[ 5 = (4C_1 + C_2) \cdot 1 + 0 \]

\[ 5 = 4C_1 + C_2 \]

Подставляем найденное значение C_1 = -1:

\[ 5 = 4(-1) + C_2 \]

\[ 5 = -4 + C_2 \]

\[ C_2 = 5 + 4 = 9 \]

Таким образом, частное решение нашего уравнения:

\[ y(x) = -e^{4x} + 9x e^{4x} \]

3. Вычисляем значение в точке x = 1

Подставляем x = 1 в найденное частное решение:

\[ y(1) = -e^{4 \cdot 1} + 9 \cdot 1 \cdot e^{4 \cdot 1} \]

\[ y(1) = -e^4 + 9e^4 \]

\[ y(1) = 8e^4 \]

Теперь вычислим значение e^4. Используем приближенное значение e ≈ 2.71828:

\[ e^4 \approx (2.71828)^4 \approx 54.59815 \]

Теперь умножим на 8:

\[ y(1) = 8 \times 54.59815 \approx 436.7852 \]

Округляем до сотых (с точностью 0,01):

\[ y(1) \approx 436.79 \]

Ответ: 436.79