3. Найдите: sin(π/4 +a), если sina = 3/5

Дано: $$ \sin{a} = \frac{3}{5} $$. Необходимо найти: $$ \sin(\frac{\pi}{4} + a) $$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$$

В нашем случае:

$$\sin(\frac{\pi}{4} + a) = \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(a) + \cos(\frac{\pi}{4}) \sin(a)$$

Известно, что $$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$, а также дано $$ \sin{a} = \frac{3}{5} $$.

Найдем $$ \cos{a} $$. Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1$$ $$\cos^2{a} = 1 - \sin^2{a}$$ $$\cos^2{a} = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Таким образом, $$ \cos{a} = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} $$. Так как в условии не указана четверть, в которой находится угол a, то рассмотрим оба варианта:

а) Если $$ \cos{a} = \frac{4}{5} $$, то:

$$\sin(\frac{\pi}{4} + a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{2}}{10} + \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$

б) Если $$ \cos{a} = -\frac{4}{5} $$, то:

$$\sin(\frac{\pi}{4} + a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{4}{5}) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4\sqrt{2}}{10} + \frac{3\sqrt{2}}{10} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$$

Ответ:$$\frac{7\sqrt{2}}{10}$$ или $$-\frac{\sqrt{2}}{10}$$