Найдите значение выражения f^(2024) (1/2025), если f(x) = \sqrt{2025 - x^2} при 0 ≤ x ≤ 45. Ответ округлите до четвертого знака после запятой. В ответе укажите только натуральное число или десятичную дробь. Примеры корректных ответов:

Решение

Давай разберем по порядку.

Для решения этой задачи нам нужно найти 2024-ю производную функции f(x) = \sqrt{2025 - x^2} и вычислить её значение в точке x = 1/2025.

Сначала найдем первые несколько производных функции, чтобы увидеть закономерность:

f(x) = \sqrt{2025 - x^2} = (2025 - x^2)^(1/2)

f'(x) = (1/2) * (2025 - x^2)^(-1/2) * (-2x) = -x / \sqrt{2025 - x^2}

f''(x) = (-1 * \sqrt{2025 - x^2} - (-x) * (-x / \sqrt{2025 - x^2})) / (2025 - x^2) = (-2025 + x^2 - x^2) / (2025 - x^2)^(3/2) = -2025 / (2025 - x^2)^(3/2)

f'''(x) = -2025 * (-3/2) * (2025 - x^2)^(-5/2) * (-2x) = -6075x / (2025 - x^2)^(5/2)

f^(4)(x) = (-6075 * (2025 - x^2)^(5/2) - (-6075x) * (-5/2) * (2025 - x^2)^(3/2) * (-2x)) / (2025 - x^2)^5 = (-6075 * (2025 - x^2) + 15187.5x^2) / (2025 - x^2)^(7/2) = (6075x^2 + 6075 * 2025) / (2025 - x^2)^(7/2)

Заметим, что каждая производная имеет вид:

f^(n)(x) = P_n(x) / (2025 - x^2)^(n + 1/2)

где P_n(x) - полином степени n.

Теперь посмотрим, что происходит при x = 1/2025:

f(1/2025) = \sqrt{2025 - (1/2025)^2} ≈ \sqrt{2025} = 45

f'(1/2025) = -1/2025 / \sqrt{2025 - (1/2025)^2} ≈ -1/(2025 * 45) = -1/91125

f''(1/2025) = -2025 / (2025 - (1/2025)^2)^(3/2) ≈ -2025 / 45^3 = -2025 / 91125 = -1/45

f'''(1/2025) = -6075 * (1/2025) / (2025 - (1/2025)^2)^(5/2) ≈ -6075/(2025 * 45^5) = -3/(45^5) = -3/184528125

Поскольку нам нужно найти 2024-ю производную, точное вычисление каждой производной не требуется. Заметим, что с каждой новой производной значения становятся все меньше и меньше.

При больших n, f^(n)(1/2025) будет очень маленьким числом.

Так как нам нужно округлить до четвертого знака после запятой, можно предположить, что f^(2024)(1/2025) ≈ 0.0000

Оценим значение f^(2024)(1/2025) численно. Заметим, что каждый раз, когда берем производную, значение уменьшается в 2025 раз. Значит, значение 2024-й производной будет очень маленьким, близким к 0.

Поэтому, округляя до четвертого знака после запятой, получаем 0.0000.

Ответ: 0.0000

Отлично! У тебя все получится!