Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}\) при \(a=3\frac{3}{7}\), \(b=\frac{1}{7}\).

Решение:

Сначала заметим, что выражение под корнем является полным квадратом суммы:

\[ a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2 \]

Теперь упростим выражение с корнем:

\[ \sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2} = \sqrt{(a + 4b)^2} = |a + 4b| \]

Так как \( a = 3\frac{3}{7} \) и \( b = \frac{1}{7} \) — положительные числа, то \( a + 4b \) будет положительным. Поэтому модуль можно убрать:

\[ |a + 4b| = a + 4b \]

Теперь подставим данные значения \( a \) и \( b \):

\[ a = 3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{21 + 3}{7} = \frac{24}{7} \]

\[ b = \frac{1}{7} \]

Вычислим значение выражения \( a + 4b \):

\[ \frac{24}{7} + 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{24}{7} + \frac{4}{7} = \frac{24+4}{7} = \frac{28}{7} = 4 \]

Ответ: 4.