Найдите значение выражения \(\sqrt{18} \cdot \sqrt{80} \cdot \sqrt{30}\)

Решение:

Для вычисления значения выражения \(\sqrt{18} \cdot \sqrt{80} \cdot \sqrt{30}\) воспользуемся свойством корней \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) и разложим числа под корнем на простые множители.

1. Объединим корни под одним знаком: \( \sqrt{18 \cdot 80 \cdot 30} \)
2. Разложим числа на множители: \( 18 = 2 \cdot 3^2 \), \( 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 \), \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \)
3. Подставим разложения в выражение под корнем: \( \sqrt{(2 \cdot 3^2) \cdot (2^4 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)} \)
4. Сгруппируем множители: \( \sqrt{2^{1+4+1} \cdot 3^{2+1} \cdot 5^{1+1}} = \sqrt{2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^2} \)
5. Вынесем множители из-под корня. Для этого разделим показатели степеней на 2: \( \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2} = 2^{6/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 5^{2/2} \cdot \sqrt{3} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot \sqrt{3} \)
6. Вычислим результат: \( 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 120 \sqrt{3} \)

Ответ: \( 120\sqrt{3} \).