Найдите значение выражения \(\sqrt{0.25 \cdot a^4 \cdot b^6}\) при \(a = \sqrt{2}\) и \(b = 3\).

Привет! Давай разберёмся с этим выражением вместе.

Дано:

• Выражение: \( \sqrt{0.25 \cdot a^4 \cdot b^6} \)
• Условия: \( a = \sqrt{2} \) и \( b = 3 \)

Решение:

1. Упрощаем подкоренное выражение:

   Сначала вспомним, что \(0.25 = \frac{1}{4}\). Теперь подставим это значение:

   \( \sqrt{\frac{1}{4} \cdot a^4 \cdot b^6} \)

   Извлечём квадратный корень из чисел и переменных:

   • \( \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)
   • \( \sqrt{a^4} = a^{4/2} = a^2 \)
   • \( \sqrt{b^6} = b^{6/2} = b^3 \)

   Собираем всё вместе:

   \( \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot b^3 \)

2. Подставляем значения переменных:

   Теперь подставим \( a = \sqrt{2} \) и \( b = 3 \) в упрощённое выражение:

   \( \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (3)^3 \)

3. Вычисляем:

   \( (\sqrt{2})^2 = 2 \)

   \( (3)^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)

   Теперь всё умножаем:

   \( \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 27 \)

   \( 1 \cdot 27 = 27 \)

Ответ: 27