Найдите значение выражения: $$\frac{x^2}{x^2 + 2xy} : \frac{x}{x^2 - 4y^2}$$ при $$x = 4-2\sqrt{5}$$, $$y = 8-\sqrt{5}$$

Решение:

1. Упростим выражение:
   • Разложим знаменатели на множители:
   • $$x^2 + 2xy = x(x + 2y)$$
   • $$x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$$
   • Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:
   • $$\frac{x^2}{x(x + 2y)} : \frac{x}{(x - 2y)(x + 2y)}$$
   • Деление заменим умножением на обратную дробь:
   • $$\frac{x^2}{x(x + 2y)} \cdot \frac{(x - 2y)(x + 2y)}{x}$$
   • Сократим одинаковые множители:
   • $$\frac{x^{\cancel{2}}}{\cancel{x}(\cancel{x + 2y})} \cdot \frac{(x - 2y)(\cancel{x + 2y})}{\cancel{x}} = x - 2y$$
2. Подставим значения $$x$$ и $$y$$ в упрощённое выражение $$x - 2y$$:
3. $$x = 4-2\sqrt{5}$$
4. $$y = 8-\sqrt{5}$$
5. $$x - 2y = (4-2\sqrt{5}) - 2(8-\sqrt{5})$$
6. Раскроем скобки:
7. $$4 - 2\sqrt{5} - 16 + 2\sqrt{5}$$
8. Сгруппируем и вычислим:
9. $$(4 - 16) + (-2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = -12 + 0 = -12$$

Ответ: -12