Найдите значение выражения $$ \frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5b^8}} \text{ при } a = 4 \text{ и } b = 7. $$

Давай разберемся с этим выражением шаг за шагом.

Сначала упростим числитель:

• \[ \sqrt{25a^9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^9} = 5 \cdot a^{9/2} \]
• \[ \sqrt{16b^8} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{b^8} = 4 \cdot b^{8/2} = 4b^4 \]

Теперь перемножим их:

• \[ \sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8} = 5a^{9/2} \cdot 4b^4 = 20 a^{9/2} b^4 \]

Теперь упростим знаменатель:

• \[ \sqrt{a^5b^8} = \sqrt{a^5} \cdot \sqrt{b^8} = a^{5/2} \cdot b^{8/2} = a^{5/2} b^4 \]

Теперь разделим числитель на знаменатель:

• \[ \frac{20 a^{9/2} b^4}{a^{5/2} b^4} = 20 \cdot a^{(9/2 - 5/2)} \cdot b^{(4 - 4)} = 20 \cdot a^{4/2} \cdot b^0 = 20 a^2 \]

Теперь подставим значения $$a = 4$$ и $$b = 7$$:

• \[ 20 \cdot (4)^2 = 20 \cdot 16 = 320 \]

Значение $$b$$ нам не понадобилось, потому что $$b^0 = 1$$.

Ответ: 320