Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{15} - \sqrt{12}}{\sqrt{20}}$$

Решение:

1. Упростим корни в числителе и знаменателе: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \) и \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \).
2. Подставим упрощённые корни в выражение: \[ \frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} \].
3. Разделим каждый член числителя на знаменатель: \[ \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} \].
4. Упростим каждую дробь: \[ \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{2\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \].
5. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} \].
6. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \): \[ \frac{(\sqrt{15} - 2\sqrt{3})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{75} - 2\sqrt{15}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3} - 2\sqrt{15}}{10} = \frac{5\sqrt{3} - 2\sqrt{15}}{10} \].

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3} - 2\sqrt{15}}{10}$$