Найдите значение выражения: $$ \frac{3^{n+3} \cdot 16^{n+2}}{12^{n+2} \cdot 4^{n+1}} $$

Решение:

Чтобы найти значение выражения, преобразуем его, представив числа в виде простых множителей:

\( 16 = 2^4 \)

\( 12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2 \)

Подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \frac{3^{n+3} \cdot (2^4)^{n+2}}{(3 \cdot 2^2)^{n+2} \cdot (2^2)^{n+1}} \]

Применим свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \):

\[ \frac{3^{n+3} \cdot 2^{4(n+2)}}{3^{n+2} \cdot (2^2)^{n+2} \cdot 2^{2(n+1)}} \]\[ \frac{3^{n+3} \cdot 2^{4n+8}}{3^{n+2} \cdot 2^{2(n+2)} \cdot 2^{2n+2}} \]\[ \frac{3^{n+3} \cdot 2^{4n+8}}{3^{n+2} \cdot 2^{2n+4} \cdot 2^{2n+2}} \]

Сложим степени в знаменателе с одинаковым основанием \( 2 \): \( 2n+4 + 2n+2 = 4n+6 \)

\[ \frac{3^{n+3} \cdot 2^{4n+8}}{3^{n+2} \cdot 2^{4n+6}} \]

Теперь применим свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 3^{(n+3)-(n+2)} \cdot 2^{(4n+8)-(4n+6)} \]\[ 3^{n+3-n-2} \cdot 2^{4n+8-4n-6} \]\[ 3^1 \cdot 2^2 \]\[ 3 \cdot 4 \]

Вычислим окончательное значение:

\[ 12 \]

Ответ: 12