Найдите значение выражения $$\frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{21^{10}}$$.

Решение:

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. В знаменателе у нас есть \( 21^{10} \). Так как \( 21 = 3 \cdot 7 \), то \( 21^{10} = (3 \cdot 7)^{10} = 3^{10} \cdot 7^{10} \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{21^{10}} = \frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{3^{10} \cdot 7^{10}} \]

Теперь мы можем сократить одинаковые основания степеней:

• \( \frac{7^{10}}{7^{10}} = 1 \)
• \( \frac{3^{13}}{3^{10}} = 3^{13-10} = 3^3 \)

Таким образом, выражение упрощается до:

\[ 3^3 \cdot 1 = 3^3 \]

Вычислим значение \( 3^3 \):

\[ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \]

Ответ: 27.