Найдите значение выражения $$ \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} $$.

Привет! Давай разберем это задание по шагам.

1. Разложим числа на простые множители:

У нас есть числа 24, 3 и 8. Разложим их:

• $$24 = 2^3 \cdot 3$$
• $$3 = 3$$
• $$8 = 2^3$$

2. Подставим разложения в выражение:

Теперь заменим числа их разложениями в нашем выражении:

$$ \frac{(2^3 \cdot 3)^4}{3^2 \cdot (2^3)^3} $$

3. Применим свойства степеней:

Используем правила степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ и $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$:

$$ \frac{(2^3)^4 \cdot 3^4}{3^2 \cdot (2^3)^3} = \frac{2^{12} \cdot 3^4}{3^2 \cdot 2^9} $$

4. Сократим дроби:

Применим правило $$a^m / a^n = a^{m-n}$$:

$$ 2^{12-9} \cdot 3^{4-2} = 2^3 \cdot 3^2 $$

5. Вычислим результат:

$$ 2^3 = 8 $$

$$ 3^2 = 9 $$

$$ 8 \cdot 9 = 72 $$

Ответ: 72