Найдите значение выражения (√a⁵)³ · (√b³)⁵ (√a³.b³)³ при a = 5 - 3√2, b = 5 + 3√2.

Решение:

Сначала упростим данное выражение:

\[ \frac{(\sqrt{a^5})^3 \cdot (\sqrt{b^3})^5}{(\sqrt{a^3 \cdot b^3})^3} = \frac{(a^{5/2})^3 \cdot (b^{3/2})^5}{((a^3 b^3)^{1/2})^3} = \frac{a^{15/2} \cdot b^{15/2}}{(a^3 b^3)^{3/2}} = \frac{(ab)^{15/2}}{a^{9/2} b^{9/2}} = \frac{(ab)^{15/2}}{(ab)^{9/2}} = (ab)^{(15/2) - (9/2)} = (ab)^{6/2} = (ab)^3 \]

Теперь подставим значения \( a = 5 - 3\sqrt{2} \) и \( b = 5 + 3\sqrt{2} \) в выражение \( (ab)^3 \).

Сначала найдем произведение \( ab \):

\[ ab = (5 - 3\sqrt{2})(5 + 3\sqrt{2}) \]

Это разность квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \). Здесь \( x = 5 \) и \( y = 3\sqrt{2} \).

\[ ab = 5^2 - (3\sqrt{2})^2 = 25 - (3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = 25 - (9 \cdot 2) = 25 - 18 = 7 \]

Теперь возведем результат в куб:

\[ (ab)^3 = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343 \]

Ответ: 343