Найдите значение выражения √8·√192

Решение:

Для вычисления значения выражения \( \sqrt{8} \cdot \sqrt{192} \) воспользуемся свойством корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).

\( \sqrt{8} \cdot \sqrt{192} = \sqrt{8 \cdot 192} \)

Вычислим произведение под корнем:

\( 8 \cdot 192 = 8 \cdot (200 - 8) = 8 \cdot 200 - 8 \cdot 8 = 1600 - 64 = 1536 \)

Теперь найдём корень из 1536:

\( \sqrt{1536} \)

Разложим 1536 на простые множители:

\( 1536 = 2 \cdot 768 = 2^2 \cdot 384 = 2^3 \cdot 192 = 2^4 \cdot 96 = 2^5 \cdot 48 = 2^6 \cdot 24 = 2^7 \cdot 12 = 2^8 \cdot 6 = 2^9 \cdot 3 \)

\( \sqrt{1536} = \sqrt{2^9 \cdot 3} = \sqrt{2^8 \cdot 2 \cdot 3} = 2^4 \sqrt{2 \cdot 3} = 16 \sqrt{6} \)

Другой способ:

\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)

\( \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \)

\( \sqrt{8} \cdot \sqrt{192} = (2\sqrt{2}) \cdot (8\sqrt{3}) = 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 16 \sqrt{6} \)

Ответ: \( 16\sqrt{6} \)