Найдите значение выражения \( 3 \cdot \left( \frac{1}{6a} - \frac{1}{7b} \right) : \left( \frac{b}{6} - \frac{a}{7} \right) \) при \( a = \sqrt{18} \) и \( b = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Решение:

Сначала упростим выражение внутри скобок:

\( \frac{1}{6a} - \frac{1}{7b} = \frac{7b - 6a}{42ab} \)

\( \frac{b}{6} - \frac{a}{7} = \frac{7b - 6a}{42} \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( 3 \cdot \frac{7b - 6a}{42ab} : \frac{7b - 6a}{42} \)

Преобразуем деление в умножение на обратную дробь:

\( 3 \cdot \frac{7b - 6a}{42ab} \cdot \frac{42}{7b - 6a} \)

Сократим общие множители \( (7b - 6a) \) и \( 42 \):

\( 3 \cdot \frac{1}{ab} \cdot 1 = \frac{3}{ab} \)

Теперь подставим данные значения \( a = \sqrt{18} \) и \( b = \frac{1}{\sqrt{2}} \):

\( ab = \sqrt{18} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \)

Теперь вычислим значение всего выражения:

\(\frac{3}{ab} = \frac{3}{3} = 1\)

Ответ: 1