Найдите значение выражения: 25³·14² a) 49·10⁶ 12²·35³ б) 28²·15⁴ 36³·15² в) 18⁴·10³ 22⁴·3³ г) 6²·121² Вычислите:

Решение:

а) \( \frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6} \)

1. Разложим числа на простые множители:


• \( 25 = 5^2 \)
• \( 14 = 2 \cdot 7 \)
• \( 49 = 7^2 \)
• \( 10 = 2 \cdot 5 \)


2. Подставим разложения в выражение:



\( \frac{(5^2)^3 \cdot (2 \cdot 7)^2}{7^2 \cdot (2 \cdot 5)^6} = \frac{5^6 \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6} \)



3. Сократим одинаковые множители:



\( \frac{1}{2^{6-2}} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \)

б) \( \frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4} \)

1. Разложим числа на простые множители:


• \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
• \( 35 = 5 \cdot 7 \)
• \( 28 = 2^2 \cdot 7 \)
• \( 15 = 3 \cdot 5 \)


2. Подставим разложения в выражение:



\( \frac{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot (5 \cdot 7)^3}{(2^2 \cdot 7)^2 \cdot (3 \cdot 5)^4} = \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^4 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4} \)



3. Сократим одинаковые множители:



\( \frac{7^{3-2}}{3^{4-2} \cdot 5^{4-3}} = \frac{7^1}{3^2 \cdot 5^1} = \frac{7}{9 \cdot 5} = \frac{7}{45} \)

в) \( \frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3} \)

1. Разложим числа на простые множители:


• \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
• \( 15 = 3 \cdot 5 \)
• \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
• \( 10 = 2 \cdot 5 \)


2. Подставим разложения в выражение:



\( \frac{(2^2 \cdot 3^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot (2 \cdot 5)^3} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3} \)



3. Сократим одинаковые множители:



\( \frac{1}{2^{7-6} \cdot 5^{3-2}} = \frac{1}{2^1 \cdot 5^1} = \frac{1}{10} \)

г) \( \frac{22^4 \cdot 3^3}{6^2 \cdot 121^2} \)

1. Разложим числа на простые множители:


• \( 22 = 2 \cdot 11 \)
• \( 6 = 2 \cdot 3 \)
• \( 121 = 11^2 \)


2. Подставим разложения в выражение:



\( \frac{(2 \cdot 11)^4 \cdot 3^3}{(2 \cdot 3)^2 \cdot (11^2)^2} = \frac{2^4 \cdot 11^4 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^4} \)



3. Сократим одинаковые множители:



\( \frac{2^{4-2} \cdot 3^{3-2}}{1} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 \)

Ответ: а) \( \frac{1}{16} \); б) \( \frac{7}{45} \); в) \( \frac{1}{10} \); г) 12.