Найдите значение выражения 2(4a^3)^3 / (a^6 * a^8) при a = √20.

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Применим степень к числителю:
• \[ \frac{2(4a^3)^3}{a^6 a^8} = \frac{2 \cdot 4^3 \cdot (a^3)^3}{a^{6+8}} = \frac{2 \cdot 64 \cdot a^{3 \cdot 3}}{a^{14}} = \frac{128 a^9}{a^{14}} \]
2. Сократим степени 'a':
• \[ \frac{128 a^9}{a^{14}} = 128 a^{9-14} = 128 a^{-5} = \frac{128}{a^5} \]

Теперь подставим значение a = √20:

1. \[ a^5 = (\sqrt{20})^5 = (20^{1/2})^5 = 20^{5/2} \]
2. \[ 20^{5/2} = (20^5)^{1/2} = \sqrt{20^5} = \sqrt{20^4 \cdot 20} = 20^2 \sqrt{20} = 400 \sqrt{20} \]
3. Упростим √20:
• \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \]
4. Таким образом,
• \[ a^5 = 400 \cdot 2\sqrt{5} = 800\sqrt{5} \]

Теперь подставим это значение обратно в упрощенное выражение:

1. \[ \frac{128}{a^5} = \frac{128}{800\sqrt{5}} \]
2. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 128 (128 = 2^7, 800 = 8 * 100 = 2^3 * 10^2 = 2^3 * (2*5)^2 = 2^3 * 2^2 * 5^2 = 2^5 * 5^2 = 32 * 25):
• \[ \frac{128}{800\sqrt{5}} = \frac{2^7}{2^5 \cdot 25 \sqrt{5}} = \frac{2^2}{25\sqrt{5}} = \frac{4}{25\sqrt{5}} \]
3. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на √5:
• \[ \frac{4}{25\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{25 \cdot 5} = \frac{4\sqrt{5}}{125} \]

Ответ:

\[ \frac{4\sqrt{5}}{125} \]