Решение

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

• $$1 \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$$
• $$1 \frac{13}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 13}{18} = \frac{31}{18}$$
• $$2 \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{23}{9}$$

Теперь перепишем выражение с неправильными дробями:

$$\frac{13}{12} : (\frac{31}{18} - \frac{23}{9})$$

Чтобы вычесть дроби в скобках, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 9 - это 18. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

$$\frac{23}{9} = \frac{23 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{46}{18}$$

Выполним вычитание в скобках:

$$\frac{31}{18} - \frac{46}{18} = \frac{31 - 46}{18} = \frac{-15}{18}$$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$$\frac{-15}{18} = \frac{-5}{6}$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{13}{12} : (\frac{-5}{6})$$

Разделим первую дробь на вторую. Деление дробей эквивалентно умножению на перевернутую дробь:

$$\frac{13}{12} : \frac{-5}{6} = \frac{13}{12} \cdot \frac{6}{-5} = \frac{13 \cdot 6}{12 \cdot (-5)}$$

Сократим дробь, разделив 6 и 12 на 6:

$$\frac{13 \cdot 1}{2 \cdot (-5)} = \frac{13}{-10} = -\frac{13}{10}$$

Представим результат в виде смешанного числа:

$$- \frac{13}{10} = -1 \frac{3}{10}$$

Ответ: $$-1 \frac{3}{10}$$