Найдите значение выражения √4√5+9−√5.

Пошаговое решение:

• Для начала упростим выражение под корнем: \[\sqrt{4\sqrt{5} + 9} - \sqrt{5}\]
• Заметим, что выражение \( 4\sqrt{5} + 9 \) можно представить как квадрат суммы. Вспомним формулу \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Нам нужно подобрать такие \( a \) и \( b \), чтобы выполнялось: \[ a^2 + b^2 = 9, \quad 2ab = 4\sqrt{5} \]
• Предположим, что \( a = \sqrt{5} \) и \( b = 2 \). Тогда: \[ a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5, \quad b^2 = 2^2 = 4 \] И \( a^2 + b^2 = 5 + 4 = 9 \), что соответствует нашему выражению. Также \( 2ab = 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 = 4\sqrt{5} \), что тоже соответствует.
• Значит, мы можем переписать выражение под корнем как: \[ 4\sqrt{5} + 9 = (\sqrt{5} + 2)^2 \]
• Теперь исходное выражение примет вид: \[ \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} - \sqrt{5} \]
• Извлечем квадратный корень: \[ |\sqrt{5} + 2| - \sqrt{5} \] Так как \( \sqrt{5} + 2 \) всегда положительное, модуль можно опустить: \[ \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} \]
• Упростим выражение, сократив \( \sqrt{5} \) и \( -\sqrt{5} \): \[ 2 \]

Ответ: 2