Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[4]{m} \cdot \sqrt[12]{m}}$$ при $$m = 4096$$.

Для решения этого задания необходимо упростить выражение и подставить значение $$m$$. 1. Упрощение выражения: Используем свойства степеней и корней: $$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$ $$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[4]{m} \cdot \sqrt[12]{m}} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{12}}}$$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{12}} = m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}} = m^{\frac{3}{12} + \frac{1}{12}} = m^{\frac{4}{12}} = m^{\frac{1}{3}}$$ Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{3}}}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = m^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} = m^{\frac{1}{6}}$$ Таким образом, выражение упростилось до: $$\sqrt[6]{m}$$. 2. Подстановка значения $$m = 4096$$: Теперь подставим значение $$m = 4096$$ в упрощенное выражение: $$\sqrt[6]{4096}$$ Заметим, что $$4096 = 2^{12}$$, поэтому: $$\sqrt[6]{2^{12}} = (2^{12})^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{12}{6}} = 2^2 = 4$$ Ответ: 4