1. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{64a^{10}}{a^6}}\) при a=5. 2. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{81x^2}{y^4}}\) при х=2, у=6. 3. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{1}{100} \cdot x^4y^6}\) при х=5, y=2. 4. Найдите значение выражения \(\sqrt{(-a)^6 \cdot a^4}\) при а=2. 5. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2+18ab+81b^2}\) при a=\(\frac{4}{13}\), b=\(\frac{1}{13}\). 6. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2+16ab+64b^2}\) при а=9, b=-2. 7. Найдите значение выражения 1 (√28-√7)⋅√7; 3 \(\frac{\sqrt{30}⋅\sqrt{15}}{\sqrt{18}}\) ; 5 √74; 2 √7⋅12⋅√21; 4 4√13⋅2√3⋅√39; 6 √95. 8. Найдите значение выражения 1 \(\frac{(7\sqrt{11})^2}{110}\) ; 3 (√23-4)(√23+4); 6 \(\frac{1}{4+\sqrt{14}} + \frac{1}{4-\sqrt{14}}\) ; 2 \(\frac{48}{(2\sqrt{6})^2}\) ; 4 (\(\sqrt{15}-\sqrt{7}\) )(\( \sqrt{15}+\sqrt{7}\) ); 7 \(\frac{1}{\sqrt{37}-6} - \frac{1}{\sqrt{37}+6}\) 5 (\(\sqrt{14}-3\) )²+6√14

Задание 1.

1. 1. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{64a^{10}}{a^6}}\) при a=5.

• Упрощаем выражение под корнем: \(\frac{64a^{10}}{a^6} = 64a^{10-6} = 64a^4\)
• Извлекаем квадратный корень: \(\sqrt{64a^4} = 8a^2\)
• Подставляем значение a=5: \(8 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200\)

Ответ: 200

2. 2. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{81x^2}{y^4}}\) при х=2, у=6.

• Извлекаем квадратный корень: \(\sqrt{\frac{81x^2}{y^4}} = \frac{9x}{y^2}\)
• Подставляем значения х=2, у=6: \(\frac{9 \cdot 2}{6^2} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{1}{2}\) или 0.5

3. 3. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{1}{100} \cdot x^4y^6}\) при х=5, y=2.

• Извлекаем квадратный корень: \(\sqrt{\frac{1}{100} \cdot x^4y^6} = \frac{1}{10}x^2y^3\)
• Подставляем значения х=5, y=2: \(\frac{1}{10} \cdot 5^2 \cdot 2^3 = \frac{1}{10} \cdot 25 \cdot 8 = \frac{200}{10} = 20\)

Ответ: 20

4. 4. Найдите значение выражения \(\sqrt{(-a)^6 \cdot a^4}\) при а=2.

• Упрощаем выражение под корнем: \(\sqrt{(-a)^6 \cdot a^4} = \sqrt{a^6 \cdot a^4} = \sqrt{a^{10}} = a^5\)
• Подставляем значение a=2: \(2^5 = 32\)

Ответ: 32

5. 5. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2+18ab+81b^2}\) при a=\(\frac{4}{13}\), b=\(\frac{1}{13}\).

• Замечаем, что под корнем полный квадрат: \(\sqrt{a^2+18ab+81b^2} = \sqrt{(a+9b)^2} = |a+9b|\)
• Подставляем значения a=\(\frac{4}{13}\), b=\(\frac{1}{13}\): \(|\frac{4}{13} + 9 \cdot \frac{1}{13}| = |\frac{4}{13} + \frac{9}{13}| = |\frac{13}{13}| = 1\)

Ответ: 1

6. 6. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2+16ab+64b^2}\) при а=9, b=-2.

• Замечаем, что под корнем полный квадрат: \(\sqrt{a^2+16ab+64b^2} = \sqrt{(a+8b)^2} = |a+8b|\)
• Подставляем значения а=9, b=-2: \(|9 + 8 \cdot (-2)| = |9 - 16| = |-7| = 7\)

Ответ: 7

7. 7. Найдите значение выражения

1. 1 (√28-√7)⋅√7;

• Раскрываем скобки: \((\sqrt{28} - \sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = \sqrt{28} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} \cdot \sqrt{7} - 7 = 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} - 7 = 2 \cdot 7 - 7 = 14 - 7 = 7\)

Ответ: 7

2. 2 √7⋅12⋅√21;

• Упрощаем выражение: \(\sqrt{7} \cdot 12 \cdot \sqrt{21} = 12 \cdot \sqrt{7 \cdot 21} = 12 \cdot \sqrt{7 \cdot 7 \cdot 3} = 12 \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = 84\sqrt{3}\)

Ответ: \(84\sqrt{3}\)

3. 3 \(\frac{\sqrt{30}⋅\sqrt{15}}{\sqrt{18}}\) ;

• Упрощаем выражение: \(\frac{\sqrt{30} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 15} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2} \cdot 15}{3\sqrt{2}} = \frac{15}{3} = 5\)

Ответ: 5

4. 4 4√13⋅2√3⋅√39;

• Упрощаем выражение: \(4\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{39} = 8 \sqrt{13 \cdot 3 \cdot 39} = 8 \sqrt{13 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13} = 8 \cdot 13 \cdot 3 = 8 \cdot 39 = 312\)

Ответ: 312

5. 5 √74;

Выражение \(\sqrt{74}\) не упрощается до целого числа или более простого выражения с рациональными числами. Это иррациональное число, которое приблизительно равно 8.602.

Ответ: \(\sqrt{74}\)

6. 6 √95.

Выражение \(\sqrt{95}\) не упрощается до целого числа или более простого выражения с рациональными числами. Это иррациональное число, которое приблизительно равно 9.747.

Ответ: \(\sqrt{95}\)

8. 8. Найдите значение выражения

1. 1 \(\frac{(7\sqrt{11})^2}{110}\) ;

• Упрощаем выражение: \(\frac{(7\sqrt{11})^2}{110} = \frac{49 \cdot 11}{110} = \frac{49 \cdot 11}{10 \cdot 11} = \frac{49}{10} = 4.9\)

Ответ: 4.9

2. 2 \(\frac{48}{(2\sqrt{6})^2}\) ;

• Упрощаем выражение: \(\frac{48}{(2\sqrt{6})^2} = \frac{48}{4 \cdot 6} = \frac{48}{24} = 2\)

Ответ: 2

3. 3 (√23-4)(√23+4);

• Используем формулу разности квадратов: \((\sqrt{23} - 4)(\sqrt{23} + 4) = (\sqrt{23})^2 - 4^2 = 23 - 16 = 7\)

Ответ: 7

4. 4 (\(\sqrt{15}-\sqrt{7}\) )(\( \sqrt{15}+\sqrt{7}\) );

• Используем формулу разности квадратов: \((\sqrt{15} - \sqrt{7})(\sqrt{15} + \sqrt{7}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8\)

Ответ: 8

5. 5 (\(\sqrt{14}-3\) )²+6√14

• Раскрываем квадрат: \((\sqrt{14} - 3)^2 + 6\sqrt{14} = (\sqrt{14})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{14} + 3^2 + 6\sqrt{14} = 14 - 6\sqrt{14} + 9 + 6\sqrt{14} = 14 + 9 = 23\)

Ответ: 23

6. 6 \(\frac{1}{4+\sqrt{14}} + \frac{1}{4-\sqrt{14}}\) ;

• Приводим к общему знаменателю: \(\frac{1}{4+\sqrt{14}} + \frac{1}{4-\sqrt{14}} = \frac{4-\sqrt{14} + 4+\sqrt{14}}{(4+\sqrt{14})(4-\sqrt{14})} = \frac{8}{16 - 14} = \frac{8}{2} = 4\)

Ответ: 4

7. 7 \(\frac{1}{\sqrt{37}-6} - \frac{1}{\sqrt{37}+6}\)

• Приводим к общему знаменателю: \(\frac{1}{\sqrt{37}-6} - \frac{1}{\sqrt{37}+6} = \frac{(\sqrt{37}+6) - (\sqrt{37}-6)}{(\sqrt{37}-6)(\sqrt{37}+6)} = \frac{\sqrt{37}+6 - \sqrt{37}+6}{37 - 36} = \frac{12}{1} = 12\)

Ответ: 12