Найдите значение выражения \[\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}\]

Ответ: 1

Решение:

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель первой дроби на сопряженное выражение к \(\sqrt{3}-1\), то есть на \(\sqrt{3}+1\):

\[\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\]

Шаг 2: Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):

\[(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2\]

Шаг 3: Подставим упрощенный знаменатель обратно в дробь:

\[\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1\]

Шаг 4: Теперь подставим упрощенную дробь в исходное выражение и упростим:

\[\sqrt{3}+1 - \sqrt{3} = 1\]

Ответ: 1