3. Найдите значение квадратичной функции у = (1-x)(x+3) при значении аргумента, равном 5. 4. Найдите координаты вершины параболы у=2х2-12x+5. 5. Решите квадратное неравенство 3х²-4x+1>0. 6. Постройте график функции у = x²-4x+3. 7. Найдите для функции у = х² - 4x + 3: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) наименьшее (наибольшее) значение функции; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули функции; ж) промежутки монотонности функции. 8. Решите систему неравенств [x²-2x-15>0, x²+2x-8≤0.] 9. Мяч бросили вертикально вверх с высоты 1 м с начальной скоростью 8 м/с. Зависимость высоты h (м) подброшенного мяча над землей от времени t (с) полета выражается формулой h=-5t² + 8t+1. На какую максимальную высоту поднимется мяч? 10. Найдите все значения числа а, при которых уравнение (a+3)x²+(a+4)x + 2 = 0 имеет два корня.

Привет! Разбираем задачи по алгебре.

Задание 3:

Чтобы найти значение квадратичной функции, нужно подставить значение аргумента (x) в уравнение функции.

Подставляем x = 5 в уравнение y = (1 - x)(x + 3):

y = (1 - 5)(5 + 3) = (-4)(8) = -32

Ответ: -32

Задание 4:

Находим координаты вершины параболы y = 2x² - 12x + 5.

Координата x вершины параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} \), где a = 2, b = -12.

\( x_в = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \)

Теперь найдем координату y вершины, подставив x_в = 3 в уравнение параболы:

\( y_в = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 5 = 2 \cdot 9 - 36 + 5 = 18 - 36 + 5 = -13 \)

Ответ: (3, -13)

Задание 5:

Решаем квадратное неравенство 3x² - 4x + 1 > 0.

1. Найдем корни квадратного уравнения 3x² - 4x + 1 = 0.

Используем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

2. Определим знаки неравенства:

Так как коэффициент при x² положителен (3 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство 3x² - 4x + 1 > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: \( x < \frac{1}{3} \) или \( x > 1 \)

Задание 6:

Построим график функции y = x² - 4x + 3.

1. Найдем координаты вершины параболы:

\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)

Вершина параболы: (2, -1).

2. Найдем нули функции:

Решим уравнение x² - 4x + 3 = 0.

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \)

\( x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Нули функции: x = 1 и x = 3.

Теперь можно построить график функции, используя вершину и нули.

Задание 7:

Для функции y = x² - 4x + 3:

a) Область определения функции: все действительные числа, так как это квадратичная функция.

Ответ: \((-\infty; +\infty)\)

б) Множество значений функции: так как вершина параболы в точке (2, -1) и парабола направлена вверх, множество значений: \([-1; +\infty)\)

Ответ: \([-1; +\infty)\)

в) Наименьшее значение функции: -1 (в вершине параболы).

Ответ: -1

г) Уравнение оси симметрии параболы: x = 2 (вертикальная линия, проходящая через вершину).

Ответ: x = 2

д) Нули функции: x = 1 и x = 3 (где график пересекает ось x).

Ответ: 1, 3

ж) Промежутки монотонности функции:

• Функция убывает на промежутке \((-\infty; 2)\)
• Функция возрастает на промежутке \((2; +\infty)\)

Задание 8:

Решаем систему неравенств:

\(\{x^2 - 2x - 15 > 0, \qquad x^2 + 2x - 8 \le 0\}\)

Сначала решим каждое неравенство отдельно:

1) \( x^2 - 2x - 15 > 0 \)

Корни уравнения \( x^2 - 2x - 15 = 0 \):

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \)

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \)

Решение: \( x < -3 \) или \( x > 5 \)

2) \( x^2 + 2x - 8 \le 0 \)

Корни уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \):

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)

Решение: \( -4 \le x \le 2 \)

Теперь найдем пересечение решений:

Первое неравенство: \( x < -3 \) или \( x > 5 \)

Второе неравенство: \( -4 \le x \le 2 \)

Пересечение: \( -4 \le x < -3 \)

Ответ: \( -4 \le x < -3 \)

Задание 9:

Находим максимальную высоту, на которую поднимется мяч.

Уравнение высоты: \( h = -5t^2 + 8t + 1 \)

Чтобы найти максимальную высоту, нужно найти вершину параболы.

Время достижения максимальной высоты:

\( t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-5)} = \frac{8}{10} = 0.8 \)

Теперь подставим \( t_в = 0.8 \) в уравнение высоты:

\( h_{макс} = -5 \cdot (0.8)^2 + 8 \cdot 0.8 + 1 = -5 \cdot 0.64 + 6.4 + 1 = -3.2 + 6.4 + 1 = 4.2 \)

Ответ: 4.2 м

Задание 10:

Найдем значения a, при которых уравнение \( (a+3)x^2 + (a+4)x + 2 = 0 \) имеет два корня.

1. Условие существования двух корней:

Уравнение должно быть квадратным, то есть \( a + 3
e 0 \), следовательно \( a
e -3 \).

Дискриминант должен быть больше нуля: \( D > 0 \)

2. Вычислим дискриминант:

\( D = (a+4)^2 - 4 \cdot (a+3) \cdot 2 = a^2 + 8a + 16 - 8(a+3) = a^2 + 8a + 16 - 8a - 24 = a^2 - 8 \)

3. Найдем значения a, при которых дискриминант больше нуля:

\( a^2 - 8 > 0 \)

\( a^2 > 8 \)

\( |a| > \sqrt{8} \)

\( |a| > 2\sqrt{2} \)

Следовательно, \( a < -2\sqrt{2} \) или \( a > 2\sqrt{2} \)

4. Учитываем условие \( a
   e -3 \):

Так как \( -3 < -2\sqrt{2} \) (потому что \( -3 \approx -3 \), а \( -2\sqrt{2} \approx -2.83 \)), это значение не попадает в решение.

Ответ: \( a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty) \)