Найдите значение интеграла \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 3\cos x dx\)

Решение:

Для нахождения значения определённого интеграла \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 3\cos x dx\) сначала найдём первообразную для функции \(3\cos x\).

Первообразная для \(\cos x\) есть \(\sin x\). Следовательно, первообразная для \(3\cos x\) равна \(3\sin x\).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \(F(x)\) — первообразная для \(f(x)\).

В нашем случае \(a = 0\), \(b = \frac{\pi}{6}\), \(f(x) = 3\cos x\), \(F(x) = 3\sin x\).

Вычисляем:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 3\cos x dx = \left[ 3\sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = 3\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 3\sin(0) \]

Значения синуса:

• \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)
• \(\sin(0) = 0\)

Подставляем значения:

\[ 3\cdot\frac{1}{2} - 3\cdot 0 = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2} \]

Таким образом, значение интеграла равно \(\frac{3}{2}\).

Ответ: \(\frac{3}{2}\).