21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых график функции у = |x² - 2(а - 3)x + a²-6a| пересекает прямую у = а2 - 4а - 12 в двух различных точ- ках.

Давай решим эту задачу вместе! Нам нужно найти все значения параметра a, при которых график функции \( y = |x^2 - 2(a - 3)x + a^2 - 6a| \) пересекает прямую \( y = a^2 - 4a - 12 \) ровно в двух точках. Сначала рассмотрим функцию под модулем: \( f(x) = x^2 - 2(a - 3)x + a^2 - 6a \). Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: \[ D = (2(a - 3))^2 - 4(a^2 - 6a) = 4(a^2 - 6a + 9) - 4a^2 + 24a = 4a^2 - 24a + 36 - 4a^2 + 24a = 36 \] Так как \( D = 36 > 0 \), то квадратный трехчлен имеет два различных корня. Теперь найдем вершину параболы \( f(x) \). Абсцисса вершины: \[ x_v = \frac{-(-2(a - 3))}{2} = a - 3 \] Ордината вершины: \[ y_v = f(a - 3) = (a - 3)^2 - 2(a - 3)(a - 3) + a^2 - 6a = (a - 3)^2 - 2(a - 3)^2 + a^2 - 6a = -(a - 3)^2 + a^2 - 6a = -(a^2 - 6a + 9) + a^2 - 6a = -a^2 + 6a - 9 + a^2 - 6a = -9 \] Таким образом, вершина параболы имеет координаты \( (a - 3, -9) \). Теперь рассмотрим функцию \( y = |f(x)| = |x^2 - 2(a - 3)x + a^2 - 6a| \). График этой функции получается из графика \( f(x) \) путем отражения относительно оси x той части, которая находится ниже оси x. Так как вершина параболы \( f(x) \) имеет ординату \( -9 \), то после отражения вершина параболы \( y = |f(x)| \) будет иметь координаты \( (a - 3, 9) \). Теперь нам нужно, чтобы прямая \( y = a^2 - 4a - 12 \) пересекала график \( y = |f(x)| \) в двух точках. Это возможно в двух случаях: 1) Прямая проходит через вершину отраженной параболы, т.е. \( a^2 - 4a - 12 = 9 \). Решим это уравнение: \[ a^2 - 4a - 21 = 0 \]\[ (a - 7)(a + 3) = 0 \] Значит, \( a = 7 \) или \( a = -3 \). 2) Прямая касается параболы \( f(x) \), когда она не отражена, т.е. \( a^2 - 4a - 12 = 0 \). Решим это уравнение: \[ a^2 - 4a - 12 = 0 \]\[ (a - 6)(a + 2) = 0 \] Значит, \( a = 6 \) или \( a = -2 \). 3) Прямая проходит выше вершины параболы, т.е. \( a^2 - 4a - 12 > 9 \). Таким образом, мы нашли следующие значения параметра \( a \): \( a = 7, a = -3, a = 6, a = -2 \). Чтобы прямая \( y = a^2 - 4a - 12 \) пересекала график \( y = |x^2 - 2(a - 3)x + a^2 - 6a| \) в двух точках, необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих условий: 1. Прямая проходит через вершину параболы \( y = |f(x)| \). Это означает, что \( a^2 - 4a - 12 = 9 \), что приводит к \( a = 7 \) или \( a = -3 \). 2. Прямая является касательной к параболе \( y = f(x) \) в ее неотраженной части. Это означает, что \( a^2 - 4a - 12 = 0 \), что приводит к \( a = 6 \) или \( a = -2 \). Таким образом, значения параметра \( a \), при которых график функции \( y = |x^2 - 2(a - 3)x + a^2 - 6a| \) пересекает прямую \( y = a^2 - 4a - 12 \) в двух различных точках, это \( a = -3, -2, 6, 7 \).

Ответ: -3, -2, 6, 7