21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство (а - 2)x² + 2(2a-3)x + 5a - 6 < 0 справедливо для всех действительных значений х.

Question

Вопрос:

21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство (а - 2)x² + 2(2a-3)x + 5a - 6 < 0 справедливо для всех действительных значений х.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай решим это неравенство с параметром. Нам нужно, чтобы квадратичная функция (f(x) = (a - 2)x^2 + 2(2a - 3)x + 5a - 6) была всегда меньше нуля.

Для этого есть два условия:

Старший коэффициент должен быть отрицательным: (a - 2 < 0)
Дискриминант должен быть отрицательным: (D < 0)

Давай разберем по порядку:

1. Условие на старший коэффициент:

(a - 2 < 0)

(a < 2)

2. Условие на дискриминант:

Дискриминант (D = b^2 - 4ac), где:

(a = a - 2)

(b = 2(2a - 3))

(c = 5a - 6)

Подставляем:

{D = [2(2a - 3)]^2 - 4(a - 2)(5a - 6})

{D = 4(4a^2 - 12a + 9) - 4(5a^2 - 6a - 10a + 12)})

{D = 16a^2 - 48a + 36 - 20a^2 + 64a - 48})

{D = -4a^2 + 16a - 12})

Теперь нужно, чтобы (D < 0):

{-4a^2 + 16a - 12 < 0})

Делим на -4 (меняем знак неравенства):

{a^2 - 4a + 3 > 0})

Решаем квадратное уравнение (a^2 - 4a + 3 = 0):

{D_a = (-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 3 = 16 - 12 = 4})

{a_1 = frac{4 + qrt{4}}{2} = frac{4 + 2}{2} = 3})

{a_2 = frac{4 - qrt{4}}{2} = frac{4 - 2}{2} = 1})

Решением неравенства (a^2 - 4a + 3 > 0) будет:

(a < 1) или (a > 3)

3. Совмещаем условия:

(a < 2)
(a < 1) или (a > 3)

Пересечение этих условий дает: (a < 1)

Ответ: (a < 1)