22. Найдите все значения k, при которых прямая у = kx пересекает в трех точках ломаную, заданную условиями: y={\begin{cases}1, если |x| \le 2\\2x-3, если x>2\\2x+5, если x<-2.\end{cases}}

Решение:

Рассмотрим заданную кусочно-линейную функцию:

\[ y = \begin{cases} 1, & \text{если } |x| \le 2 \\ 2x - 3, & \text{если } x > 2 \\ 2x + 5, & \text{если } x < -2 \end{cases} \]

Прямая y = kx должна пересекать эту функцию в трех точках.

1. Рассмотрим участок |x| ≤ 2, где y = 1. Прямая y = kx пересекает этот участок, если -2 ≤ x ≤ 2 и y = 1. То есть, kx = 1, и x = 1/k. Значит, необходимо, чтобы -2 ≤ 1/k ≤ 2.

   Отсюда получаем два неравенства:

   • 1/k ≤ 2 → 1 ≤ 2k (если k > 0) → k ≥ 1/2
   • 1/k ≥ -2 → 1 ≥ -2k (если k < 0) → k ≤ -1/2

2. Рассмотрим участок x > 2, где y = 2x - 3. Прямая y = kx пересекает этот участок, если 2x - 3 = kx → x(2 - k) = 3 → x = 3/(2 - k). Так как x > 2, то 3/(2 - k) > 2.

   Отсюда:

   3 > 2(2 - k) (если 2 - k > 0) → 3 > 4 - 2k → 2k > 1 → k > 1/2, и 2 - k > 0 → k < 2.

   Или

   3 < 2(2 - k) (если 2 - k < 0) → 3 < 4 - 2k → 2k < 1 → k < 1/2, и 2 - k < 0 → k > 2 (противоречие).

   Итак, 1/2 < k < 2.

3. Рассмотрим участок x < -2, где y = 2x + 5. Прямая y = kx пересекает этот участок, если 2x + 5 = kx → x(2 - k) = -5 → x = -5/(2 - k). Так как x < -2, то -5/(2 - k) < -2.

   Отсюда:

   -5 > -2(2 - k) (если 2 - k > 0) → -5 > -4 + 2k → -1 > 2k → k < -1/2, и 2 - k > 0 → k < 2.

   Или

   -5 < -2(2 - k) (если 2 - k < 0) → -5 < -4 + 2k → -1 < 2k → k > -1/2, и 2 - k < 0 → k > 2 (противоречие).

   Итак, k < -1/2.

Для трех точек пересечения необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

• Прямая y = kx пересекает участок |x| ≤ 2, то есть -2 ≤ 1/k ≤ 2.
• Прямая y = kx пересекает либо участок x > 2, либо участок x < -2.

Объединяя полученные условия, получаем:

• k ≥ 1/2 для пересечения с участком |x| ≤ 2 и участком x > 2, тогда 1/2 < k < 2.
• k ≤ -1/2 для пересечения с участком |x| ≤ 2 и участком x < -2, тогда k < -1/2.

Таким образом, возможные значения k:

\[ k \in (-\infty, -1/2) \cup (1/2, 2) \]

Ответ: \[ k \in (-\infty, -1/2) \cup (1/2, 2) \]

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что полученные интервалы значений k соответствуют условию пересечения прямой y=kx с графиком заданной кусочной функции в трех точках.

Доп. профит: Понимание поведения кусочных функций и их пересечений с прямыми линиями помогает в анализе более сложных математических моделей.