Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство |x − a²| − √(x − 1/2) ≥ 0 выполняется при любом допустимом значении x.

Область допустимых значений: \(x\ge \frac12\).

Положим \(t=\sqrt{x-\frac12}\), тогда \(t\ge0\), а \(x=t^2+\frac12\). Неравенство принимает вид

\[\left|t^2+\frac12-a^2\right|-t\ge0.\]

Для выполнения неравенства при всех \(t\ge0\) необходимо и достаточно, чтобы

\[\left|t^2+\frac12-a^2\right|\ge t.\]

При \(t^2+\frac12-a^2\ge0\) получаем \(t^2-t+\frac12-a^2\ge0\). Минимум левой части при \(t\ge0\) достигается при \(t=\frac12\), поэтому

\[\frac14-\frac12+\frac12-a^2\ge0\quad\Longrightarrow\quad a^2\le\frac14.\]

Если \(t^2+\frac12-a^2<0\), то \(a^2-\frac12-t^2-t>0\). Это условие также выполняется при \(a^2\le\frac14\); при \(a^2>\frac14\) уже при \(t=\frac12\) исходное неравенство нарушается.

Следовательно, \(a^2\le\frac14\), откуда

Ответ: \(a\in\left[-\frac12,\frac12\right]\).