Найдите все целые значения а, удовлетворяющие условию |a|≤10, при которых уравнение х⁴-(a+2)x²+a+5=0 имеет ровно два различных корня. Запишите в ответ количество найденных значений. Ответ:

Решение:

Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид \( y^2 - (a+2)y + a+5 = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Его корни:

\[ y = \frac{(a+2) \pm \sqrt{(a+2)^2 - 4(a+5)}}{2} = \frac{(a+2) \pm \sqrt{a^2 + 4a + 4 - 4a - 20}}{2} = \frac{(a+2) \pm \sqrt{a^2 - 16}}{2} \]

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, нам необходимо, чтобы квадратное уравнение относительно \( y \) имело один положительный и один неположительный корень (или один положительный корень, а второй был равен нулю).

Рассмотрим различные случаи:

1. Случай 1: Уравнение для \( y \) имеет один корень (дискриминант равен 0).

\[ a^2 - 16 = 0 \implies a = \pm 4 \]

Если \( a = 4 \), то \( y = \frac{(4+2)}{2} = 3 \). \( x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} \). Два корня. \( |a| = 4 \le 10 \). Значит, \( a=4 \) подходит.

Если \( a = -4 \), то \( y = \frac{(-4+2)}{2} = -1 \). \( x^2 = -1 \). Нет действительных корней.

2. Случай 2: Уравнение для \( y \) имеет два различных корня.

Для получения ровно двух различных корней \( x \), необходимо, чтобы один корень \( y_1 \) был положительным, а другой \( y_2 \) был неположительным (то есть \( y_2 \le 0 \)).

Условие \( y_1 > 0 \) и \( y_2 \le 0 \) эквивалентно тому, что произведение корней \( y_1 y_2 \le 0 \).

Из теоремы Виета для уравнения \( y^2 - (a+2)y + a+5 = 0 \):

\[ y_1 y_2 = a+5 \]

Следовательно, \( a+5 \le 0 \implies a \le -5 \).

Также необходимо, чтобы дискриминант был положительным: \( a^2 - 16 > 0 \), что означает \( a < -4 \) или \( a > 4 \).

Объединяя условия \( a \le -5 \) и (\( a < -4 \) или \( a > 4 \)), получаем \( a \le -5 \).

Кроме того, нам нужно, чтобы хотя бы один корень был положительным. Если \( a = -5 \), то \( y_1 y_2 = 0 \). Уравнение для \( y \) имеет вид \( y^2 - (-5+2)y + (-5+5) = 0 \) \( \implies y^2 + 3y = 0 \) \( \implies y(y+3) = 0 \). Корни \( y_1 = 0 \) и \( y_2 = -3 \). \( x^2 = 0 \implies x = 0 \) (один корень). \( x^2 = -3 \) (нет корней). В этом случае у нас только один корень \( x=0 \). Значит, \( a=-5 \) не подходит.

Значит, нам нужны случаи, когда \( y_1 > 0 \) и \( y_2 < 0 \). Это условие выполняется, когда \( y_1 y_2 < 0 \), то есть \( a+5 < 0 \) и \( a^2 - 16 > 0 \).

\( a+5 < 0 \implies a < -5 \).

\( a^2 - 16 > 0 \implies a < -4 \) или \( a > 4 \).

Пересечение этих условий: \( a < -5 \).

Также нужно рассмотреть случай, когда один корень \( y=0 \) и второй корень \( y > 0 \).

Если \( y=0 \) является корнем, то \( 0 - (a+2) \cdot 0 + a+5 = 0 \), откуда \( a = -5 \). Мы уже рассмотрели этот случай, и получили только один корень \( x=0 \).

Итоговые условия для \( a \):

• \( a = 4 \) (из случая дискриминанта равного 0).
• \( a < -5 \) (из случая двух корней \( y \), один положительный, один отрицательный).

Учитывая условие \( |a| \le 10 \), целые значения \( a \) удовлетворяющие \( a < -5 \) и \( |a| \le 10 \) это: \( -10, -9, -8, -7, -6 \).

Также подходит \( a = 4 \).

Всего найдено \( 5 + 1 = 6 \) значений \( a \).

Ответ: 6