Найдите все рациональные корни x³ - 4x

Решение:

Чтобы найти рациональные корни многочлена \( x^3 - 4x \), сначала приравняем его к нулю:

\[ x^3 - 4x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(x^2 - 4) = 0 \]

Теперь разложим выражение в скобках как разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a=x \) и \( b=2 \):

\[ x(x-2)(x+2) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \( x = 0 \)
2. \( x - 2 = 0 \) \(\implies\) \( x = 2 \)
3. \( x + 2 = 0 \) \(\implies\) \( x = -2 \)

Таким образом, рациональные корни уравнения: \( x = 0 \), \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Сравним полученные корни с вариантами ответов:

• A: \( x = -1, x = 1, x = 3 \) — неверно.
• B: \( x = 2, x = 0, x = -2 \) — верно.
• C: \( x = -2, x = 0, x = 2 \) — верно (порядок не имеет значения).
• D: \( x = -2, x = 0 \) — неверно (не хватает корня \( x=2 \)).

Правильными являются варианты B и C.

Ответ: B, C