Найдите все положительные з при каждом из которых корни 5a^{2x} - 2 $\cdot$ 4^x + 9 $\cdot$ (2a)^x = 0 принадлежат отрезку [-3; 1].

Question

Найдите все положительные з при каждом из которых корни 5a^{2x} - 2 $\cdot$ 4^x + 9 $\cdot$ (2a)^x = 0 принадлежат отрезку [-3; 1].

$Фото задания: Найдите все положительные з при каждом из которых корни 5a^{2x} - 2 $\cdot$ 4^x + 9 $\cdot$ (2a)^x = 0 принадлежат…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$ 5 \cdot (a^2)^x - 2 \cdot (2^2)^x + 9 \cdot (2a)^x = 0 $

$ 5 \cdot (a^x)^2 - 2 \cdot (4)^x + 9 \cdot (2a)^x = 0 $

Это уравнение не является стандартным квадратным относительно $ a^x $ или $ 2^x $ из-за наличия члена $ (2a)^x $.

Давайте рассмотрим уравнение как квадратное относительно $ (2a)^x $, предварительно преобразуя члены:

$ 5a^{2x} = 5(a^2)^x $

$ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 $

$ (2a)^x = 2^x \cdot a^x $

Подставляем в исходное уравнение:

$ 5(a^x)^2 - 2(2^x)^2 + 9(2a)^x = 0 $

Это уравнение выглядит сложным для аналитического решения без дополнительных условий.

Предположим, что уравнение является квадратным относительно $ (2a)^x $ или $ a^x $.

Рассмотрим вариант, что это квадратное уравнение относительно $ (2a)^x $. Для этого нужно, чтобы $ 5a^{2x} $ и $ -2 · 4^x $ могли быть представлены через $ (2a)^x $.

Если $ a = 2 $, уравнение становится: $ 5 · 2^{2x} - 2 · 4^x + 9 · (4)^x = 0 $

$ 5 · 4^x - 2 · 4^x + 9 · 4^x = 0 $

$ (5 - 2 + 9) · 4^x = 0 $

$ 12 · 4^x = 0 $. Это уравнение не имеет решений, так как $ 4^x > 0 $ для всех $ x $.

Вернемся к исходному уравнению и попытаемся увидеть, что если $ a > 0 $, то $ a^x $ и $ (2a)^x $ определены.

Уравнение: $ 5 · (a^2)^x - 2 · 4^x + 9 · (2a)^x = 0 $

Если $ x=1 $, то $ 5a^2 - 2 · 4 + 9 · 2a = 0 $

$ 5a^2 + 18a - 8 = 0 $

$ a = \frac{-18 ± √{18^2 - 4 · 5 · (-8)}}{2 · 5} = \frac{-18 ± √{324 + 160}}{10} = \frac{-18 ± √{484}}{10} = \frac{-18 ± 22}{10} $

$ a_1 = \frac{-18 + 22}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 $

$ a_2 = \frac{-18 - 22}{10} = \frac{-40}{10} = -4 $. Так как $ a $ положительное, $ a = 0.4 $ подходит.

Если $ x = -3 $, то $ 5a^{-6} - 2 · 4^{-3} + 9 · (2a)^{-3} = 0 $

$ \frac{5}{a^6} - \frac{2}{64} + \frac{9}{(2a)^3} = 0 $

$ \frac{5}{a^6} - \frac{1}{32} + \frac{9}{8a^3} = 0 $

Умножим на $ 32a^6 $:

$ 5 · 32 - a^6 + 9 · 4a^3 = 0 $

$ 160 - a^6 + 36a^3 = 0 $

$ a^6 - 36a^3 - 160 = 0 $

Пусть $ y = a^3 $. Тогда $ y^2 - 36y - 160 = 0 $

$ y = \frac{36 ± √{36^2 - 4 · 1 · (-160)}}{2} = \frac{36 ± √{1296 + 640}}{2} = \frac{36 ± √{1936}}{2} = \frac{36 ± 44}{2} $

$ y_1 = \frac{36 + 44}{2} = 40 $

$ y_2 = \frac{36 - 44}{2} = -4 $

Так как $ y = a^3 $, то $ a^3 = 40 $ или $ a^3 = -4 $. $ a^3 = -4 $ нам не подходит, так как $ a > 0 $.

$ a^3 = 40 → a = ∛{40} = ∛{8 · 5} = 2∛{5} $

$ 2∛{5} ≈ 2 · 1.71 = 3.42 $

Теперь рассмотрим общее уравнение: $ 5a^{2x} - 2 · 4^x + 9 · (2a)^x = 0 $

Если $ a > 0 $, то $ a^x $ и $ (2a)^x $ всегда положительны.

Уравнение можно переписать как:

$ 5 · (a^x)^2 + 9 · (2a)^x - 2 · 4^x = 0 $

Разделим на $ 4^x $ (так как $ 4^x ≠ 0 $):

$ 5 · \frac{(a^x)^2}{4^x} + 9 · \frac{(2a)^x}{4^x} - 2 = 0 $

$ 5 · \frac{a^{2x}}{(2^2)^x} + 9 · \frac{2^x · a^x}{(2^2)^x} - 2 = 0 $

$ 5 · \frac{(a^2)^x}{(4)^x} + 9 · \frac{2^x · a^x}{4^x} - 2 = 0 $

$ 5 · (\frac{a^2}{4})^x + 9 · (\frac{2a}{4})^x - 2 = 0 $

$ 5 · (\frac{a^2}{4})^x + 9 · (\frac{a}{2})^x - 2 = 0 $

Это уравнение имеет вид $ 5 · (b^2)^x + 9 · b^x - 2 = 0 $, где $ b = a/2 $.

Пусть $ y = (\frac{a}{2})^x $. Тогда $ y^2 = ((\frac{a}{2})^x)^2 = (\frac{a^2}{4})^x $.

Уравнение принимает вид: $ 5y^2 + 9y - 2 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение относительно $ y $:

$ y = \frac{-9 ± √{9^2 - 4 · 5 · (-2)}}{2 · 5} = \frac{-9 ± √{81 + 40}}{10} = \frac{-9 ± √{121}}{10} = \frac{-9 ± 11}{10} $

$ y_1 = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 $

$ y_2 = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2 $

Так как $ y = (\frac{a}{2})^x $ и $ a > 0 $, $ a/2 > 0 $. При любом $ x $, $ y > 0 $. Значит, $ y = -2 $ не подходит.

Остается $ y = 0.2 $, то есть $ (\frac{a}{2})^x = 0.2 = \frac{1}{5} $.

Мы знаем, что корни $ x $ должны принадлежать отрезку $ [-3; 1] $.

Рассмотрим два случая для $ a $:

Случай 1: $ \frac{a}{2} > 1 $ (то есть $ a > 2 $).

В этом случае функция $ f(x) = (\frac{a}{2})^x $ возрастает.

$ (\frac{a}{2})^1 ≥ \frac{1}{5} $ и $ (\frac{a}{2})^{-3} ≤ \frac{1}{5} $.

$ \frac{a}{2} ≥ \frac{1}{5} → a ≥ \frac{2}{5} $. Это условие уже выполняется, так как $ a > 2 $.

$ (\frac{2}{a})^3 ≤ \frac{1}{5} → \frac{8}{a^3} ≤ \frac{1}{5} → 40 ≤ a^3 $.

$ a^3 ≥ 40 $. $ a ≥ ∛{40} $.

$ ∛{40} ≈ 3.42 $.

Итак, для этого случая $ a ≥ ∛{40} $.

Случай 2: $ 0 < \frac{a}{2} < 1 $ (то есть $ 0 < a < 2 $).

В этом случае функция $ f(x) = (\frac{a}{2})^x $ убывает.

$ (\frac{a}{2})^1 ≤ \frac{1}{5} $ и $ (\frac{a}{2})^{-3} ≥ \frac{1}{5} $.

$ \frac{a}{2} ≤ \frac{1}{5} → a ≤ \frac{2}{5} $. Учитывая $ 0 < a < 2 $, получаем $ 0 < a ≤ \frac{2}{5} = 0.4 $.

$ (\frac{2}{a})^3 ≥ \frac{1}{5} → \frac{8}{a^3} ≥ \frac{1}{5} → 40 ≥ a^3 $.

$ a^3 ≤ 40 $. Это условие выполняется для $ a ≤ ∛{40} $.

Объединяя условия: $ 0 < a ≤ 0.4 $.

Случай 3: $ \frac{a}{2} = 1 $ (то есть $ a = 2 $).

Тогда $ (\frac{a}{2})^x = 1^x = 1 $.

Уравнение $ 5(1)^2 + 9(1) - 2 = 0 $ → $ 5 + 9 - 2 = 12 = 0 $, что неверно. Значит, $ a ≠ 2 $.

Итак, мы имеем два интервала для $ a $: $ a ≥ ∛{40} $ и $ 0 < a ≤ 0.4 $.

Проверим границы отрезка $ [-3; 1] $.

Если $ x = 1 $, то $ (\frac{a}{2})^1 = \frac{1}{5} $, $ a = \frac{2}{5} = 0.4 $.

Если $ x = -3 $, то $ (\frac{a}{2})^{-3} = \frac{1}{5} $, $ (\frac{2}{a})^3 = \frac{1}{5} $, $ \frac{8}{a^3} = \frac{1}{5} $, $ a^3 = 40 $, $ a = ∛{40} $.

Нас просят найти все положительные $ a $, при которых корни принадлежат отрезку $ [-3; 1] $.

Функция $ (\frac{a}{2})^x = \frac{1}{5} $ может иметь корни $ x $ в $ [-3; 1] $ только если основание $ \frac{a}{2} $ удовлетворяет условиям:

1. Если $ \frac{a}{2} > 1 $ (т.е. $ a > 2 $), функция $ (\frac{a}{2})^x $ возрастает. Для того, чтобы $ x ∈ [-3; 1] $ был корнем, нужно чтобы $ (\frac{a}{2})^{-3} ≤ \frac{1}{5} ≤ (\frac{a}{2})^{1} $.

$ (\frac{a}{2})^{1} ≥ \frac{1}{5} → a ≥ \frac{2}{5} $. Условие $ a > 2 $ выполняется. $ a ≥ \frac{2}{5} = 0.4 $.

$ (\frac{a}{2})^{-3} ≤ \frac{1}{5} → \frac{8}{a^3} ≤ \frac{1}{5} → a^3 ≥ 40 → a ≥ ∛{40} $.

Следовательно, $ a ≥ ∛{40} $.

2. Если $ 0 < \frac{a}{2} < 1 $ (т.е. $ 0 < a < 2 $), функция $ (\frac{a}{2})^x $ убывает. Для того, чтобы $ x ∈ [-3; 1] $ был корнем, нужно чтобы $ (\frac{a}{2})^{1} ≤ \frac{1}{5} ≤ (\frac{a}{2})^{-3} $.

$ (\frac{a}{2})^{1} ≤ \frac{1}{5} → a ≤ \frac{2}{5} = 0.4 $. Условие $ 0 < a < 2 $ выполняется.

$ (\frac{a}{2})^{-3} ≥ \frac{1}{5} → \frac{8}{a^3} ≥ \frac{1}{5} → a^3 ≤ 40 $. $ a ≤ ∛{40} $.

Следовательно, $ 0 < a ≤ 0.4 $.

Объединяя все условия, получаем, что $ a $ принадлежит объединению интервалов: $ (0; 0.4] ∪ [∛{40}; +∞) $.

$ ∛{40} ≈ 3.42 $.

В ответе предложены варианты. Сравним полученные интервалы с вариантами.

Вариант: $ (0; 0.4] ∪ [2∛{5}; +∞) $. $ 2∛{5} = ∛{8 · 5} = ∛{40} $.

Полученный интервал совпадает с одним из предложенных вариантов.

Ответ: (0; 0,4] U [2³√5; +∞)

Найдите все положительные з при каждом из которых корни 5a^{2x} - 2 \(\cdot\) 4^x + 9 \(\cdot\) (2a)^x = 0 принадлежат отрезку [-3; 1].

Ответ:

Решение: