Найдите все пары натуральных x и y таких, что x² - y² = 55. В качестве ответа введите все возможные значения x.

Решение:

Данное уравнение является разностью квадратов: \( x^2 - y^2 = 55 \).

Разложим левую часть на множители: \( (x - y)(x + y) = 55 \).

Так как \( x \) и \( y \) — натуральные числа, то \( x + y \) и \( x - y \) также являются целыми числами. Кроме того, \( x + y > 0 \) и \( x + y > x - y \).

Найдем пары множителей числа 55:

1. 1 и 55
2. 5 и 11

Теперь рассмотрим каждую пару:

1. Случай 1: \( x - y = 1 \) и \( x + y = 55 \).
• Сложим оба уравнения: \( (x - y) + (x + y) = 1 + 55 \)
• \( 2x = 56 \)
• \( x = 28 \)
• Подставим \( x = 28 \) в первое уравнение: \( 28 - y = 1 \)
• \( y = 28 - 1 = 27 \)
• Пара (28, 27) является решением.
2. Случай 2: \( x - y = 5 \) и \( x + y = 11 \).
• Сложим оба уравнения: \( (x - y) + (x + y) = 5 + 11 \)
• \( 2x = 16 \)
• \( x = 8 \)
• Подставим \( x = 8 \) в первое уравнение: \( 8 - y = 5 \)
• \( y = 8 - 5 = 3 \)
• Пара (8, 3) является решением.

Таким образом, возможные значения \( x \) — это 28 и 8.

Ответ: 8, 28.