Найдите все однородные дифференциальные уравнения

Решение:

Однородное дифференциальное уравнение — это уравнение вида \( y' = f(\frac{y}{x}) \) или \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \), где функции \( M \) и \( N \) имеют одинаковую степень однородности.

Проверим каждое уравнение:

1. \( x + y = y' \)
• Это уравнение вида \( y' = \frac{x+y}{1} \). Функция \( f(x, y) = x + y \) не является однородной, так как \( f(tx, ty) = tx + ty = t(x+y) \), а степень однородности функции \( y' \) должна быть 0.
• Можно привести к виду \( y' = f(\frac{y}{x}) \) разделив числитель и знаменатель на \( x \): \( y' = \frac{1 + \frac{y}{x}}{ \frac{1}{x}} \) — не подходит.
• Другой способ: \( y' - y = x \). Это линейное уравнение первого порядка, но не однородное.
2. \( \frac{x^2+y^2}{y^3} = y' \)
• Здесь числитель имеет степень однородности 2, а знаменатель — 3. Такая дробь не может быть функцией от \( \frac{y}{x} \).
• Проверим однородность \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \): \( (x^2+y^2)dx - y^3 dy = 0 \). \( M(x,y) = x^2+y^2 \) — однородная степени 2. \( N(x,y) = -y^3 \) — однородная степени 3. Так как степени разные, уравнение не является однородным.
3. \( \frac{x}{y+x} = y' \)
• Приведем к виду \( y' = f(\frac{y}{x}) \): разделим числитель и знаменатель дроби на \( x \): \( y' = \frac{\frac{x}{x}}{\frac{y}{x} + \frac{x}{x}} = \frac{1}{\frac{y}{x} + 1} \).
• Это уравнение вида \( y' = f(\frac{y}{x}) \), следовательно, оно является однородным.
4. \( x \cdot y = y' \)
• Это уравнение вида \( y' = xy \). \( f(x, y) = xy \). \( f(tx, ty) = (tx)(ty) = t^2xy = t^2f(x, y) \). Это однородная функция степени 2, но для уравнения вида \( y' = f(x, y) \) функция \( f \) должна быть однородной степени 0.
• Приведем к виду \( y' = f(\frac{y}{x}) \): разделим на \( x^2 \): \( y' = \frac{xy}{x^2} = \frac{y}{x} \).
• Это уравнение вида \( y' = f(\frac{y}{x}) \), где \( f(u) = u \). Следовательно, оно является однородным.

Ответ:
\( \frac{x}{y+x} = y' \)
\( x \cdot y = y' \)