Найдите уравнение нормали к f(x) = -x^2 + x - 1 в точке x = -3

Решение:

Чтобы найти уравнение нормали к функции \( f(x) = -x^2 + x - 1 \) в точке \( x = -3 \), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдём значение функции в данной точке: \( f(-3) = -(-3)^2 + (-3) - 1 = -(9) - 3 - 1 = -9 - 3 - 1 = -13 \). Точка касания: \( (-3, -13) \).
2. Найдём производную функции: \( f'(x) = -2x + 1 \).
3. Найдём значение производной в точке \( x = -3 \): \( f'(-3) = -2(-3) + 1 = 6 + 1 = 7 \). Это угловой коэффициент касательной.
4. Угловой коэффициент нормали перпендикулярен касательной, поэтому он равен \( k_{normal} = -\frac{1}{f'(-3)} = -\frac{1}{7} \).
5. Теперь используем уравнение прямой \( y - y_1 = k(x - x_1) \), где \( (x_1, y_1) = (-3, -13) \) и \( k = -\frac{1}{7} \).
6. Подставим значения: \( y - (-13) = -\frac{1}{7}(x - (-3)) \).
7. Упростим уравнение: \( y + 13 = -\frac{1}{7}(x + 3) \).
8. \( y + 13 = -\frac{1}{7}x - \frac{3}{7} \).
9. \( y = -\frac{1}{7}x - \frac{3}{7} - 13 \).
10. \( y = -\frac{1}{7}x - \frac{3}{7} - \frac{91}{7} \).
11. \( y = -\frac{1}{7}x - \frac{94}{7} \).
12. Приведём дробь \( \frac{94}{7} \) к десятичному виду: \( 94 \div 7 \approx 13.42857 \). Округляем до четырёх знаков после запятой: \( 13.4286 \).
13. Окончательное уравнение нормали: \( y = -\frac{1}{7}x - 13.4286 \).

Ответ: y = -\(\frac{1}{7}\)x - 13.4286