Найдите угол между векторами a = 4i - 2j + 6k и b = 2i + 3j + k

Решение:

Для нахождения угла между двумя векторами воспользуемся формулой скалярного произведения:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \)

Отсюда:

\( \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)

Сначала найдём скалярное произведение векторов:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (-2)(3) + (6)(1) = 8 - 6 + 6 = 8 \)

Затем найдём длины векторов:

\( |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \)

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\( \cos(\theta) = \frac{8}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{56 \cdot 14}} = \frac{8}{\sqrt{784}} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} \)

Угол \( \theta \) равен арккосинусу \( \frac{2}{7} \).

\( \theta = \arccos{\left(\frac{2}{7}\right)} \)

Ответ: \( \theta = \arccos{\left(\frac{2}{7}\right)} \).