Найдите угол ∠B в ∆ABC, если AO и CO — биссектрисы углов ∠A и ∠C соответственно. Угол ∠AOC = 138°.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• AO — биссектриса \[ \angle A \]
• CO — биссектриса \[ \angle C \]
• \[ \angle AOC = 138^{\circ} \]

Найти: \[ \angle B \]

Решение:

1. Свойства биссектрис: Биссектриса делит угол пополам. Следовательно, \[ \angle OAC = \frac{\angle A}{2} \] и \[ \angle OCA = \frac{\angle C}{2} \].
2. Сумма углов в треугольнике: В \[ \triangle AOC \] сумма углов равна 180°. Поэтому: \[ \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \] \[ \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} + 138^{\circ} = 180^{\circ} \]
3. Вычисление суммы половин углов A и C: \[ \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 180^{\circ} - 138^{\circ} \] \[ \frac{\angle A + \angle C}{2} = 42^{\circ} \]
4. Нахождение суммы углов A и C: \[ \angle A + \angle C = 42^{\circ} \times 2 \] \[ \angle A + \angle C = 84^{\circ} \]
5. Нахождение угла B: В \[ \triangle ABC \] сумма углов также равна 180°. Следовательно: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \] \[ (\angle A + \angle C) + \angle B = 180^{\circ} \] \[ 84^{\circ} + \angle B = 180^{\circ} \] \[ \angle B = 180^{\circ} - 84^{\circ} \] \[ \angle B = 96^{\circ} \]

Ответ: 96°